প্রশ্ন ও সমাধান

(2)
ধরি নির্ণেয় রেখার নতি $m$। $3x-y+7=0$ রেখার নতি $m_1=3$।
দুই রেখার মধ্যবর্তী কোণ $45^\circ$ হলে $\tan45^\circ=\left|\dfrac{m-m_1}{1+mm_1}\right|$
$\Rightarrow 1=\left|\dfrac{m-3}{1+3m}\right|$
$\Rightarrow m-3=\pm(1+3m)$

ধনাত্মক চিহ্নে: $m-3=1+3m \Rightarrow -2m=4 \Rightarrow m=-2$।
ঋণাত্মক চিহ্নে: $m-3=-1-3m \Rightarrow 4m=2 \Rightarrow m=\dfrac12$।

রেখাটি $(-1,2)$ বিন্দু দিয়ে যায়, তাই:
$m=-2$ হলে $y-2=-2(x+1) \Rightarrow$ $2x+y=0$
$m=\dfrac12$ হলে $y-2=\dfrac12(x+1) \Rightarrow 2y-4=x+1 \Rightarrow$ $x-2y+5=0$

যাচাই: দুটি রেখাই $(-1,2)$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক সিদ্ধ করে।
নির্ণেয় সমীকরণ: $2x+y=0$ এবং $x-2y+5=0$।