পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো নির্দিষ্ট তাপমাত্রায় নির্দিষ্ট আয়তনের বায়ুতে উপস্থিত জলীয় বাষ্পের ভরকে ঐ বায়ুর পরম আর্দ্রতা বলে। সাধারণত একে $\text{g/m}^3$ বা $\text{kg/m}^3$ এককে প্রকাশ করা হয়।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ত্রিমাত্রিক কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় ধনাত্মক x ও y অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর যথাক্রমে $\hat{i}$ এবং $\hat{j}$। এদের মধ্যবর্তী কোণ $\theta = 90^\circ$।

   ভেক্টর গুণনের সংজ্ঞানুসারে,
   $\hat{i} \times \hat{j} = (|\hat{i}| |\hat{j}| \sin 90^\circ) \hat{\eta}$
   যেখানে $\hat{\eta}$ হলো $\hat{i}$ ও $\hat{j}$ উভয়ের ওপর লম্ব একক ভেক্টর।

   যেহেতু $|\hat{i}| = 1$, $|\hat{j}| = 1$ এবং $\sin 90^\circ = 1$, তাই:
   $\hat{i} \times \hat{j} = (1 \cdot 1 \cdot 1) \hat{\eta} = \hat{\eta}$

   ডানহাদী কর্ক-স্ক্রু নিয়ম অনুসারে, ধনাত্মক x-অক্ষ ($\hat{i}$) থেকে ধনাত্মক y-অক্ষ ($\hat{j}$) এর দিকে ক্ষুদ্রতর কোণে স্ক্রু ঘোরালে তা ধনাত্মক z-অক্ষের দিকে অগ্রসর হয়। ধনাত্মক z-অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর হলো $\hat{k}$।

   অতএব, $\hat{\eta} = \hat{k}$
   সুতরাং, $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$ (দেখানো হলো)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $\vec{A} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$
   $\vec{B} = 3\hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k}$

   $\vec{A}$ এবং $\vec{B}$ কে সন্নিহিত বাহু ধরে গঠিত সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = $|\vec{A} \times \vec{B}|$

   এখন,
   $\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -3 & 1 \\ 3 & -1 & 5 \end{vmatrix}$
   $= \hat{i}[(-3)(5) - (1)(-1)] - \hat{j}[(2)(5) - (1)(3)] + \hat{k}[(2)(-1) - (-3)(3)]$
   $= \hat{i}[-15 + 1] - \hat{j}[10 - 3] + \hat{k}[-2 + 9]$
   $= -14\hat{i} - 7\hat{j} + 7\hat{k}$

   অতএব, সামান্তরিকটির ক্ষেত্রফল,
   $|\vec{A} \times \vec{B}| = \sqrt{(-14)^2 + (-7)^2 + 7^2}$
   $= \sqrt{196 + 49 + 49}$
   $= \sqrt{294} \approx 17.15 \text{ বর্গ একক}$

   সুতরাং, নির্ণেয় সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল $17.15$ বর্গ একক (বা $\sqrt{294}$ বর্গ একক)।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $\vec{A} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$
   $\vec{B} = 3\hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k}$
   উদ্দীপকে তৃতীয় ভেক্টরটি $\vec{C} = \hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}$ (মুদ্রণজনিত '4' বাদ দিয়ে) হিসেবে বিবেচনা করলে ত্রিভুজটি $\vec{A} + \vec{C} = \vec{B}$ শর্ত পূরণ করে।

   বাহুগুলোর মান:
   $|\vec{A}|^2 = 2^2 + (-3)^2 + 1^2 = 4 + 9 + 1 = 14$
   $|\vec{B}|^2 = 3^2 + (-1)^2 + 5^2 = 9 + 1 + 25 = 35$
   $|\vec{C}|^2 = 1^2 + 2^2 + (-4)^2 = 1 + 4 + 16 = 21$

   এখানে দেখা যাচ্ছে,
   $|\vec{A}|^2 + |\vec{C}|^2 = 14 + 21 = 35 = |\vec{B}|^2$

   যেহেতু বাহু তিনটি পিথাগোরাসের উপপাদ্য ($a^2 + c^2 = b^2$) মেনে চলে এবং $\vec{A} \cdot \vec{C} = (2)(1) + (-3)(2) + (1)(-4) = 2 - 6 - 4 = -8 \neq 0$, তবে সমকোণ তৈরি হতে হলে ডট গুণ শূন্য হতে হয়।
   বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী স্কেলার গুণন পরীক্ষা করি:
   $\vec{A} \cdot \vec{B} = (2)(3) + (-3)(-1) + (1)(5) = 6 + 3 + 5 = 14 \neq 0$
   $\vec{B} \cdot \vec{C} = (3)(1) + (-1)(2) + (5)(-4) = 3 - 2 - 20 = -19 \neq 0$
   $\vec{A} \cdot \vec{C} = -8 \neq 0$

   কোনো দুটি বাহুর অন্তর্গত কোণ $90^\circ$ নয় এবং এদের মান কোনো সমকোণী ত্রিভুজের পিথাগোরাস শর্ত সিদ্ধ করলেও ভেক্টর ডট গুণ শূন্য হয় না। তাই ভেক্টর তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে না।