উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, $M = \begin{bmatrix} k+3 & -1 \\ k & k+2 \end{bmatrix}$
   $M$ ব্যতিক্রমী (singular) ম্যাট্রিক্স হবে যদি $|M| = 0$ হয়।
   অতএব,
   $|M| = (k+3)(k+2) - (-1)(k) = 0$
   $\implies k^2 + 5k + 6 + k = 0$
   $\implies k^2 + 6k + 6 = 0$
   দ্বিঘাত সমীকরণের সূত্র প্রয়োগ করে,
   $k = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -3 \pm \sqrt{3}$

   অতএব, $k = -3 \pm \sqrt{3}$ হলে প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী হবে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সমীকরণ:
   $A^3 - 3A^2 - A + 9I = 0$
   $\implies 9I = -A^3 + 3A^2 + A$
   উভয়পক্ষকে $A^{-1}$ দ্বারা গুণ করে পাই,
   $9I \cdot A^{-1} = (-A^3 + 3A^2 + A)A^{-1}$
   $\implies 9A^{-1} = -A^2 + 3A + I$
   $\implies A^{-1} = -\frac{1}{9}(A^2 - 3A - I)$

   এখন,
   $A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 3 & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 3 & -1 & 1 \end{bmatrix}$
   $= \begin{bmatrix} 1(1)+2(0)+1(3) & 1(2)+2(1)+1(-1) & 1(1)+2(-1)+1(1) \\ 0(1)+1(0)-1(3) & 0(2)+1(1)-1(-1) & 0(1)+1(-1)-1(1) \\ 3(1)-1(0)+1(3) & 3(2)-1(1)+1(-1) & 3(1)-1(-1)+1(1) \end{bmatrix}$
   $= \begin{bmatrix} 4 & 3 & 0 \\ -3 & 2 & -2 \\ 6 & 4 & 5 \end{bmatrix}$

   অতএব,
   $A^2 - 3A - I = \begin{bmatrix} 4 & 3 & 0 \\ -3 & 2 & -2 \\ 6 & 4 & 5 \end{bmatrix} - 3\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 3 & -1 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
   $= \begin{bmatrix} 4-3-1 & 3-6-0 & 0-3-0 \\ -3-0-0 & 2-3-1 & -2+3-0 \\ 6-9-0 & 4+3-0 & 5-3-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -3 & -3 \\ -3 & -2 & 1 \\ -3 & 7 & 1 \end{bmatrix}$

   সুতরাং,
   $A^{-1} = -\frac{1}{9} \begin{bmatrix} 0 & -3 & -3 \\ -3 & -2 & 1 \\ -3 & 7 & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{9} \begin{bmatrix} 0 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & -1 \\ 3 & -7 & -1 \end{bmatrix}$

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত,
   $\Delta = \begin{bmatrix} x-1 & 2 & 3 \\ 1 & x-1 & 1 \\ 3 & 2 & x-1 \end{bmatrix}$
   এবং $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

   অতএব,
   $\Delta + I = \begin{bmatrix} x-1+1 & 2+0 & 3+0 \\ 1+0 & x-1+1 & 1+0 \\ 3+0 & 2+0 & x-1+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x & 2 & 3 \\ 1 & x & 1 \\ 3 & 2 & x \end{bmatrix}$

   শর্তানুসারে,
   $|\Delta + I| = 0$
   $\implies \begin{vmatrix} x & 2 & 3 \\ 1 & x & 1 \\ 3 & 2 & x \end{vmatrix} = 0$

   প্রথম সারি বরাবর বিস্তার করে পাই,
   $x(x^2 - 2) - 2(x - 3) + 3(2 - 3x) = 0$
   $\implies x^3 - 2x - 2x + 6 + 6 - 9x = 0$
   $\implies x^3 - 13x + 12 = 0$

   উৎপাদকে বিশ্লেষণ করার জন্য $x = 1$ বসালে রাশিটির মান শূন্য হয় ($1 - 13 + 12 = 0$)।
   অতএব, $(x - 1)$ একটি উৎপাদক।
   $x^3 - x^2 + x^2 - x - 12x + 12 = 0$
   $\implies x^2(x - 1) + x(x - 1) - 12(x - 1) = 0$
   $\implies (x - 1)(x^2 + x - 12) = 0$
   $\implies (x - 1)(x + 4)(x - 3) = 0$

   হয় $x - 1 = 0 \implies x = 1$
   অথবা $x + 4 = 0 \implies x = -4$
   অথবা $x - 3 = 0 \implies x = 3$

   অতএব, নির্ণেয় সমাধান: $x = -4, 1, 3$।