উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, $y = x^{\frac{1}{x}}$
   উভয়পক্ষে স্বাভাবিক লগারিদম (ln) নিয়ে পাই,
   $\ln y = \ln \left(x^{\frac{1}{x}}\right) = \frac{1}{x} \ln x$

   এখন, $x$ এর সাপেক্ষে উভয়পক্ষকে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} \ln x \right)$
   $\Rightarrow \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{dx}(\ln x) + \ln x \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)$
   $\Rightarrow \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} + \ln x \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)$
   $\Rightarrow \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2} (1 - \ln x)$
   $\Rightarrow \frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{1}{x^2} (1 - \ln x)$
   $\Rightarrow \frac{dy}{dx} = x^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1 - \ln x}{x^2}$ বা $x^{\frac{1}{x} - 2} (1 - \ln x)$

   অতএব, নির্ণেয় অন্তরজ: $x^{\frac{1}{x}} \frac{1 - \ln x}{x^2}$

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $f(x, y) = x^2 + px + y^2$
   সুতরাং বক্ররেখার সমীকরণ,
   $x^2 + px + y^2 = 0$ ... (i)

   $x$ এর সাপেক্ষে উভয়পক্ষকে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $2x + p + 2y \frac{dy}{dx} = 0$
   $\Rightarrow 2y \frac{dy}{dx} = -(2x + p)$
   $\Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{2x + p}{2y}$

   যেহেতু স্পর্শকগুলি $x$-অক্ষের উপর লম্ব, তাই স্পর্শকের ঢাল অসীম অর্থাৎ,
   $\frac{dx}{dy} = 0$
   $\Rightarrow -\frac{2y}{2x + p} = 0$
   $\Rightarrow 2y = 0$
   $\Rightarrow y = 0$

   এখন, $y = 0$ সমীকরণ (i)-এ বসিয়ে পাই,
   $x^2 + px + 0 = 0$
   $\Rightarrow x(x + p) = 0$
   $\therefore x = 0$ অথবা $x = -p$

   অতএব, নির্ণেয় বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(0, 0)$ এবং $(-p, 0)$। (দেখানো হলো)

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $g(x) = \tan^{-1} x$
   এবং $\tan^{-1} y = n g(x)$
   $\Rightarrow \tan^{-1} y = n \tan^{-1} x$

   $x$ এর সাপেক্ষে উভয়পক্ষকে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $\frac{1}{1 + y^2} \cdot y_1 = n \cdot \frac{1}{1 + x^2}$
   $\Rightarrow (1 + x^2) y_1 = n(1 + y^2)$

   পুনরায় $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $\frac{d}{dx}\left[(1 + x^2) y_1\right] = n \frac{d}{dx}(1 + y^2)$
   $\Rightarrow (1 + x^2) y_2 + y_1 \cdot 2x = n \cdot 2y y_1$
   $\Rightarrow (1 + x^2) y_2 + 2x y_1 - 2n y y_1 = 0$
   $\Rightarrow (1 + x^2) y_2 - 2(ny - x) y_1 = 0$
   (প্রমাণিত)