উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   লামির সূত্র (Lami's Theorem):
   কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত তিনটি সমতলীয় বল সাম্যাবস্থায় থাকলে, তাদের প্রত্যেকটির মান অপর দুটি বলের মধ্যবর্তী কোণের সাইনের (sine) সমানুপাতিক।

   অর্থাৎ, যদি $O$ বিন্দুতে ক্রিয়ারত তিনটি বল $P, Q, R$ সাম্যাবস্থায় থাকে, তবে—
   $\frac{P}{\sin(\angle QOR)} = \frac{Q}{\sin(\angle ROP)} = \frac{R}{\sin(\angle POQ)}$

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   চিত্র-১ অনুযায়ী, $A$ ও $B$ বিন্দুতে দুটি বিপরীতমুখী অসদৃশ সমান্তরাল বল $P$ ও $Q$ ক্রিয়ারত (যেখানে $P > Q$)। বলদ্বয়ের লব্ধি $P - Q$ রেখাংশ $BA$ এর বর্ধিতাংশের উপর $C$ বিন্দুতে ক্রিয়ারত।

   সমান্তরাল বলের উপপাদ্য অনুসারে,
   $P \cdot CA = Q \cdot CB$
   বা, $P \cdot CA = Q(CA + AB)$
   বা, $(P - Q) CA = Q \cdot AB$
   $\therefore CA = \frac{Q}{P - Q} AB \quad \dots (1)$

   এখন, $P$ ও $Q$ উভয় বলের মান $R$ পরিমাণ বৃদ্ধি করলে নতুন বলদ্বয় হয় $(P + R)$ এবং $(Q + R)$।
   ফলে লব্ধির নতুন মান হয় $(P + R) - (Q + R) = P - Q$, যা $D$ বিন্দুতে স্থানান্তরিত হয়।
   অতএব,
   $(P + R) \cdot DA = (Q + R) \cdot DB$
   বা, $(P + R) \cdot DA = (Q + R)(DA + AB)$
   বা, $(P - Q) DA = (Q + R) AB$
   $\therefore DA = \frac{Q + R}{P - Q} AB \quad \dots (2)$

   চিত্রানুসারে, $D, C, A$ একই সরলরেখায় অবস্থিত হওয়ায়,
   $CD = DA - CA$
   (1) ও (2) নং সমীকরণ হতে মান বসিয়ে পাই,
   $CD = \frac{Q + R}{P - Q} AB - \frac{Q}{P - Q} AB$
   $CD = \frac{Q + R - Q}{P - Q} AB$
   $\therefore CD = \frac{R}{P - Q} AB \quad \text{(প্রমাণিত)}$

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ এ, $ABC$ ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র $O$। $O$ বিন্দুতে যথাক্রমে $OA, OB, OC$ বরাবর $P, Q, R$ বল তিনটি ক্রিয়াশীল থেকে সাম্যাবস্থা সৃষ্টি করেছে।

   লামির সূত্রানুসারে,
   $\frac{P}{\sin \angle BOC} = \frac{Q}{\sin \angle COA} = \frac{R}{\sin \angle AOB} \quad \dots (1)$

   আমরা জানি, অন্তঃকেন্দ্র $O$ এর জন্য,
   $\angle BOC = 180^\circ - \frac{B + C}{2} = 180^\circ - \frac{180^\circ - A}{2} = 90^\circ + \frac{A}{2}$
   $\therefore \sin \angle BOC = \sin\left(90^\circ + \frac{A}{2}\right) = \cos\frac{A}{2}$
   অনুরূপভাবে,
   $\sin \angle COA = \cos\frac{B}{2} \quad \text{এবং} \quad \sin \angle AOB = \cos\frac{C}{2}$

   (1) নং এ মান বসিয়ে এবং বর্গ করে পাই,
   $\frac{P^2}{\cos^2\frac{A}{2}} = \frac{Q^2}{\cos^2\frac{B}{2}} = \frac{R^2}{\cos^2\frac{C}{2}}$

   আমরা জানি, ত্রিভুজমিতিক সূত্রানুযায়ী,
   $\cos^2\frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{bc}$
   $\cos^2\frac{B}{2} = \frac{s(s-b)}{ca}$
   $\cos^2\frac{C}{2} = \frac{s(s-c)}{ab}$
   যেখানে $2s = a + b + c$।

   সুতরাং,
   $\frac{P^2}{\frac{s(s-a)}{bc}} = \frac{Q^2}{\frac{s(s-b)}{ca}} = \frac{R^2}{\frac{s(s-c)}{ab}}$

   প্রতিটি অনুপাতের হরকে $\frac{abc}{s}$ দ্বারা গুণ করে পাই,
   $\frac{P^2}{a(s-a)} = \frac{Q^2}{b(s-b)} = \frac{R^2}{c(s-c)}$

   এখন, প্রতিটি হরের সাথে $2$ গুণ করে পাই,
   $\frac{P^2}{a(2s-2a)} = \frac{Q^2}{b(2s-2b)} = \frac{R^2}{c(2s-2c)}$

   যেহেতু $2s = a + b + c$, তাই $2s - 2a = b + c - a$, $2s - 2b = c + a - b$, এবং $2s - 2c = a + b - c$।

   মান বসিয়ে পাই,
   $\frac{P^2}{a(b+c-a)} = \frac{Q^2}{b(c+a-b)} = \frac{R^2}{c(a+b-c)} \quad \text{(প্রমাণিত)}$