গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $\tan A=\dfrac34$, তাই লম্ব $=3$, ভূমি $=4$, অতিভুজ $=\sqrt{9+16}=5$।

   $\sin A=\dfrac35$, $\cos A=\dfrac45$

   $\sin A\cdot\cos A=\dfrac35\times\dfrac45=\dfrac{12}{25}$। (দেখানো হলো)

2. খ)

   বামপক্ষ $=\dfrac{\sin A}{1-\cos A}+\dfrac{1-\cos A}{\sin A}=\dfrac{\sin^2A+(1-\cos A)^2}{\sin A(1-\cos A)}$

   $=\dfrac{\sin^2A+1-2\cos A+\cos^2A}{\sin A(1-\cos A)}=\dfrac{2-2\cos A}{\sin A(1-\cos A)}=\dfrac{2(1-\cos A)}{\sin A(1-\cos A)}=\dfrac2{\sin A}=\dfrac2{f(A)}=$ ডানপক্ষ। (প্রমাণিত)

3. গ)

   $g\left(\dfrac\pi2-\theta\right)=\cos(90^\circ-\theta)=\sin\theta$ এবং $f\left(\dfrac\pi2-\theta\right)=\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta$।

   শর্তমতে, $2\sin^2\theta+3\cos\theta-3=0$

   বা, $2(1-\cos^2\theta)+3\cos\theta-3=0$

   বা, $2\cos^2\theta-3\cos\theta+1=0$

   বা, $(2\cos\theta-1)(\cos\theta-1)=0$

   $\cos\theta=\dfrac12$ অথবা $\cos\theta=1$

   $\cos\theta=1$ হলে $\theta=0^\circ$ (তুচ্ছ সমাধান)। $\cos\theta=\dfrac12$ হলে $\theta=60^\circ$।

   সুতরাং, $\theta=\mathbf{60^\circ}\left(=\dfrac\pi3\right)$।