গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $\sqrt[3]{৮} = ২$, তাই হর $= ২^{n+২} \div ২ = ২^{n+১}$।

   লব $= ২^{n+৪} - ৪ \cdot ২^{n+১} = ২^{n+৪} - ২^২ \cdot ২^{n+১} = ২^{n+৪} - ২^{n+৩} = ২^{n+৩}(২ - ১) = ২^{n+৩}$

   মান $= \dfrac{২^{n+৩}}{২^{n+১}} = ২^২ = \mathbf{৪}$

2. খ)

   $a = ২, b = ৩$ বসিয়ে $D = \dfrac{১}{y} + \dfrac{১}{৫} - \dfrac{১}{২} - \dfrac{১}{y+৩}$

   $D = ০$ হলে, $\dfrac{১}{y} - \dfrac{১}{y+৩} = \dfrac{১}{২} - \dfrac{১}{৫} = \dfrac{৩}{১০}$

   $\Rightarrow \dfrac{৩}{y(y+৩)} = \dfrac{৩}{১০}$

   $\Rightarrow y^২ + ৩y = ১০$

   $\Rightarrow y^২ + ৩y - ১০ = ০$

   $\Rightarrow (y + ৫)(y - ২) = ০$

   সুতরাং, $y = \mathbf{২}$ অথবা $y = \mathbf{-৫}$।

3. গ)

   $a = ২, b = ৩, c = ৫$।

   লব: $\log\sqrt{b^৩} = \log ৩^{\frac{৩}{২}} = \dfrac{৩}{২}\log ৩$

   $b\log\dfrac{১}{a} = ৩\log\dfrac{১}{২} = -৩\log ২$

   $\dfrac{b}{a}\log(ca) = \dfrac{৩}{২}\log ১০ = \dfrac{৩}{২}(\log ২ + \log ৫)$

   লব $= \dfrac{৩}{২}\log ৩ + ৩\log ২ - \dfrac{৩}{২}\log ২ - \dfrac{৩}{২}\log ৫$

   $= \dfrac{৩}{২}\log ৩ + \dfrac{৩}{২}\log ২ - \dfrac{৩}{২}\log ৫$

   $= \dfrac{৩}{২}(\log ৩ + \log ২ - \log ৫)$

   হর: $\log(ab) - \log c = \log ৬ - \log ৫ = \log ৩ + \log ২ - \log ৫$

   সুতরাং, মান $= \dfrac{\frac{৩}{২}(\log ৩ + \log ২ - \log ৫)}{\log ৩ + \log ২ - \log ৫} = \mathbf{\dfrac{৩}{২}}$