ক) AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।
স্পষ্ট অনুমান: বরিশাল বোর্ড ২০১৭-এর মূল প্রশ্নানুযায়ী দৃশ্যকল্প-২ ধরা হয়েছে: cos C + cos D = p \cos C + \cos D = p cos C + cos D = p sin C + sin D = q \sin C + \sin D = q sin C + sin D = q
দেওয়া আছে,tan θ = b a \tan \theta = \frac{b}{a} tan θ = a b ⟹ sin θ cos θ = b a \implies \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{b}{a} ⟹ c o s θ s i n θ = a b ⟹ b sin θ a cos θ = b 2 a 2 \implies \frac{b \sin \theta}{a \cos \theta} = \frac{b^2}{a^2} ⟹ a c o s θ b s i n θ = a 2 b 2
ব্যস্তকরণ (বা বিপরীতকরণ) করে পাই,a cos θ b sin θ = a 2 b 2 \frac{a \cos \theta}{b \sin \theta} = \frac{a^2}{b^2} b s i n θ a c o s θ = b 2 a 2
যোজন-বিয়োজন করে পাই,a cos θ + b sin θ a cos θ − b sin θ = a 2 + b 2 a 2 − b 2 \frac{a \cos \theta + b \sin \theta}{a \cos \theta - b \sin \theta} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2} a c o s θ − b s i n θ a c o s θ + b s i n θ = a 2 − b 2 a 2 + b 2
অতএব, নির্ণেয় মান a 2 + b 2 a 2 − b 2 \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2} a 2 − b 2 a 2 + b 2
খ) AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।
স্পষ্ট অনুমান: বরিশাল বোর্ড ২০১৭-এর মূল প্রশ্নানুযায়ী দৃশ্যকল্প-২ ধরা হয়েছে: cos C + cos D = p \cos C + \cos D = p cos C + cos D = p sin C + sin D = q \sin C + \sin D = q sin C + sin D = q
চিত্র (দৃশ্যকল্প-১) হতে পাই,C C C r = C A = C B = 4 r = CA = CB = 4 r = C A = C B = 4 A B = 4 2 AB = 4\sqrt{2} A B = 4 2
△ A B C \triangle ABC △ A B C cos ∠ A C B = C A 2 + C B 2 − A B 2 2 ⋅ C A ⋅ C B = 4 2 + 4 2 − ( 4 2 ) 2 2 ⋅ 4 ⋅ 4 = 16 + 16 − 32 32 = 0 \cos \angle ACB = \frac{CA^2 + CB^2 - AB^2}{2 \cdot CA \cdot CB} = \frac{4^2 + 4^2 - (4\sqrt{2})^2}{2 \cdot 4 \cdot 4} = \frac{16 + 16 - 32}{32} = 0 cos ∠ A C B = 2 ⋅ C A ⋅ C B C A 2 + C B 2 − A B 2 = 2 ⋅ 4 ⋅ 4 4 2 + 4 2 − ( 4 2 ) 2 = 32 16 + 16 − 32 = 0 ⟹ ∠ A C B = 90 ∘ = π 2 rad \implies \angle ACB = 90^\circ = \frac{\pi}{2} \text{ rad} ⟹ ∠ A C B = 9 0 ∘ = 2 π rad
বৃত্তকলা C A B CAB C A B A 1 = 1 2 r 2 θ = 1 2 × 4 2 × π 2 = 4 π বর্গ একক A_1 = \frac{1}{2} r^2 \theta = \frac{1}{2} \times 4^2 \times \frac{\pi}{2} = 4\pi \text{ বর্গ একক} A 1 = 2 1 r 2 θ = 2 1 × 4 2 × 2 π = 4 π বর্গ একক
△ A B C \triangle ABC △ A B C A 2 = 1 2 × C A × C B × sin ( ∠ A C B ) = 1 2 × 4 × 4 × sin 90 ∘ = 8 বর্গ একক A_2 = \frac{1}{2} \times CA \times CB \times \sin(\angle ACB) = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 \times \sin 90^\circ = 8 \text{ বর্গ একক} A 2 = 2 1 × C A × C B × sin ( ∠ A C B ) = 2 1 × 4 × 4 × sin 9 0 ∘ = 8 বর্গ একক
অতএব, ছায়াঘেরা বৃত্তাংশের ক্ষেত্রফল:A = A 1 − A 2 = ( 4 π − 8 ) বর্গ একক ≈ 4.5664 বর্গ একক (প্রায়)। A = A_1 - A_2 = (4\pi - 8) \text{ বর্গ একক} \approx 4.5664 \text{ বর্গ একক (প্রায়)}। A = A 1 − A 2 = ( 4 π − 8 ) বর্গ একক ≈ 4.5664 বর্গ একক ( প্রায় ) ।
গ) AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।
স্পষ্ট অনুমান: বরিশাল বোর্ড ২০১৭-এর মূল প্রশ্নানুযায়ী দৃশ্যকল্প-২ ধরা হয়েছে: cos C + cos D = p \cos C + \cos D = p cos C + cos D = p sin C + sin D = q \sin C + \sin D = q sin C + sin D = q
বরিশাল বোর্ড ২০১৭-এর মূল প্রশ্নানুযায়ী দৃশ্যকল্প-২:cos C + cos D = p … ( 1 ) \cos C + \cos D = p \quad \dots (1) cos C + cos D = p … ( 1 ) sin C + sin D = q … ( 2 ) \sin C + \sin D = q \quad \dots (2) sin C + sin D = q … ( 2 )
সমীকরণ (1) ও (2) কে বর্গ করে যোগ করে পাই,( cos C + cos D ) 2 + ( sin C + sin D ) 2 = p 2 + q 2 (\cos C + \cos D)^2 + (\sin C + \sin D)^2 = p^2 + q^2 ( cos C + cos D ) 2 + ( sin C + sin D ) 2 = p 2 + q 2 ⟹ ( cos 2 C + 2 cos C cos D + cos 2 D ) + ( sin 2 C + 2 sin C sin D + sin 2 D ) = p 2 + q 2 \implies (\cos^2 C + 2\cos C \cos D + \cos^2 D) + (\sin^2 C + 2\sin C \sin D + \sin^2 D) = p^2 + q^2 ⟹ ( cos 2 C + 2 cos C cos D + cos 2 D ) + ( sin 2 C + 2 sin C sin D + sin 2 D ) = p 2 + q 2 ⟹ ( cos 2 C + sin 2 C ) + ( cos 2 D + sin 2 D ) + 2 ( cos C cos D + sin C sin D ) = p 2 + q 2 \implies (\cos^2 C + \sin^2 C) + (\cos^2 D + \sin^2 D) + 2(\cos C \cos D + \sin C \sin D) = p^2 + q^2 ⟹ ( cos 2 C + sin 2 C ) + ( cos 2 D + sin 2 D ) + 2 ( cos C cos D + sin C sin D ) = p 2 + q 2 ⟹ 1 + 1 + 2 cos ( C − D ) = p 2 + q 2 \implies 1 + 1 + 2\cos(C - D) = p^2 + q^2 ⟹ 1 + 1 + 2 cos ( C − D ) = p 2 + q 2 ⟹ 2 + 2 cos ( C − D ) = p 2 + q 2 \implies 2 + 2\cos(C - D) = p^2 + q^2 ⟹ 2 + 2 cos ( C − D ) = p 2 + q 2 ⟹ 2 [ 1 + cos ( C − D ) ] = p 2 + q 2 \implies 2[1 + \cos(C - D)] = p^2 + q^2 ⟹ 2 [ 1 + cos ( C − D )] = p 2 + q 2 ⟹ 2 [ 2 − 2 sin 2 ( C − D 2 ) ] = p 2 + q 2 [ ∵ cos ( C − D ) = 1 − 2 sin 2 C − D 2 ] \implies 2\left[2 - 2\sin^2\left(\frac{C - D}{2}\right)\right] = p^2 + q^2 \quad [\because \cos(C-D) = 1 - 2\sin^2\frac{C-D}{2}] ⟹ 2 [ 2 − 2 sin 2 ( 2 C − D ) ] = p 2 + q 2 [ ∵ cos ( C − D ) = 1 − 2 sin 2 2 C − D ] ⟹ 4 − 4 sin 2 ( C − D 2 ) = p 2 + q 2 \implies 4 - 4\sin^2\left(\frac{C - D}{2}\right) = p^2 + q^2 ⟹ 4 − 4 sin 2 ( 2 C − D ) = p 2 + q 2 ⟹ 4 sin 2 ( C − D 2 ) = 4 − p 2 − q 2 \implies 4\sin^2\left(\frac{C - D}{2}\right) = 4 - p^2 - q^2 ⟹ 4 sin 2 ( 2 C − D ) = 4 − p 2 − q 2 ⟹ sin 2 ( C − D 2 ) = 4 − p 2 − q 2 4 \implies \sin^2\left(\frac{C - D}{2}\right) = \frac{4 - p^2 - q^2}{4} ⟹ sin 2 ( 2 C − D ) = 4 4 − p 2 − q 2 ⟹ sin ( C − D 2 ) = ± 1 2 4 − p 2 − q 2 \implies \sin\left(\frac{C - D}{2}\right) = \pm \frac{1}{2}\sqrt{4 - p^2 - q^2} ⟹ sin ( 2 C − D ) = ± 2 1 4 − p 2 − q 2
(প্রমাণিত)