গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. খ)

   দেওয়া আছে, $f(x)=\sin x$, তাই $f(90^\circ-x)=\sin(90^\circ-x)=\cos x$ এবং $\frac{f(x)}{f(90^\circ-x)}=\tan x$।

   শর্ত: $\sin^4x+\sin^2x=1$ বা $\sin^4x=1-\sin^2x=\cos^2x$ ... (i)

   (i) থেকে $\tan^2x=\frac{\sin^2x}{\cos^2x}=\frac{\sin^2x}{\sin^4x}=\frac{1}{\sin^2x}$।

   বামপক্ষ $=\tan^4x-\tan^2x=\frac{1}{\sin^4x}-\frac{1}{\sin^2x}=\frac{1-\sin^2x}{\sin^4x}=\frac{\cos^2x}{\sin^4x}$

   (i) অনুযায়ী $\sin^4x=\cos^2x$, তাই বামপক্ষ $=\frac{\cos^2x}{\cos^2x}=1=$ ডানপক্ষ।

   $\therefore \left\{\frac{f(x)}{f(90^\circ-x)}\right\}^4-\left\{\frac{f(x)}{f(90^\circ-x)}\right\}^2=1$ (প্রমাণিত)

2. গ)

   দেওয়া আছে, $A=\operatorname{cosec}\theta-1$, $B=\operatorname{cosec}\theta+1$ এবং $A^2+B=4$।

   ধরি $\operatorname{cosec}\theta=c$। তাহলে
   $(c-1)^2+(c+1)=4$
   বা, $c^2-2c+1+c+1=4$
   বা, $c^2-c-2=0$
   বা, $(c-2)(c+1)=0$

   অতএব $c=2$ অথবা $c=-1$।

   $\theta$ সূক্ষ্মকোণ ($0^\circ<\theta<90^\circ$) হলে $\operatorname{cosec}\theta\ge 1$ হয়, তাই $c=-1$ গ্রহণযোগ্য নয়।

   $\operatorname{cosec}\theta=2$ বা $\sin\theta=\frac{1}{2}=\sin 30^\circ$।

   নির্ণেয় মান: $\theta=$ $30^\circ$