গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $\begin{aligned}&(1-\tan^2 60^\circ)\div(1+\cot^2 30^\circ)+\cos^2 30^\circ\\&=(1-(\sqrt3)^2)\div(1+(\sqrt3)^2)+\left(\tfrac{\sqrt3}{2}\right)^2\\&=(1-3)\div(1+3)+\tfrac34=-\tfrac24+\tfrac34=\tfrac14\end{aligned}$
   মান = $\tfrac14$

2. খ)

   ধরি, গাছটি ভূমি থেকে $h$ মিটার উচ্চতায় ভেঙেছে। তাহলে দণ্ডায়মান অংশ $h$ মিটার এবং ভাঙা অংশ $(63-h)$ মিটার। ভাঙা অংশ ভূমিতে ঠেকেছে, ফলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি হয়েছে যার অতিভুজ ভাঙা অংশ এবং ভাঙা বিন্দুতে কোণ $60^\circ$।

   $\cos 60^\circ=\dfrac{h}{63-h}$ বা, $\dfrac12=\dfrac{h}{63-h}$
   বা, $63-h=2h$ বা, $3h=63$ বা, $h=21$

   গাছটি ভূমি থেকে ২১ মিটার উচ্চতায় ভেঙেছিল।

3. গ)

   গাছের উচ্চতা $63$ মিটার ও ছায়া $21\sqrt3$ মিটার। শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ $\theta$ হলে,
   $\tan\theta=\dfrac{63}{21\sqrt3}=\dfrac{3}{\sqrt3}=\sqrt3=\tan 60^\circ$, অতএব $\theta=60^\circ$।

   ছায়া $42\sqrt3$ মিটার বাড়লে নতুন ছায়া $=21\sqrt3+42\sqrt3=63\sqrt3$ মিটার। নতুন উন্নতি কোণ $\alpha$ হলে,
   $\tan\alpha=\dfrac{63}{63\sqrt3}=\dfrac1{\sqrt3}=\tan 30^\circ$, অতএব $\alpha=30^\circ$।

   হ্রাস $=60^\circ-30^\circ=30^\circ$

   উন্নতি কোণ $30^\circ$ হ্রাস পেলে ছায়া $42\sqrt3$ মিটার বৃদ্ধি পাবে।