গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $pq=(\operatorname{cosec}\theta+\cot\theta)(\operatorname{cosec}\theta-\cot\theta)=\operatorname{cosec}^2\theta-\cot^2\theta=1$

   এটি $\theta$ এর সব মানের জন্য সত্য। তাই $\theta=30^\circ$ হলেও $pq=1$।

2. খ)

   $p=\operatorname{cosec}\theta+\cot\theta=\frac{1}{\sin\theta}+\frac{\cos\theta}{\sin\theta}=\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}$

   $p^2=\frac{(1+\cos\theta)^2}{\sin^2\theta}=\frac{(1+\cos\theta)^2}{1-\cos^2\theta}=\frac{(1+\cos\theta)^2}{(1-\cos\theta)(1+\cos\theta)}=\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}$

   আবার, $c=\frac{\sec\theta+1}{\sec\theta-1}=\frac{\frac{1}{\cos\theta}+1}{\frac{1}{\cos\theta}-1}=\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}$

   $\therefore p^2=c$ (প্রমাণিত)।

3. গ)

   আমরা জানি $pq=1$, অর্থাৎ $q=\frac1p$। তাই $\frac qp=\frac{1}{p^2}=\frac1c=\frac{\sec\theta-1}{\sec\theta+1}$

   শর্তমতে, $\frac{\sec\theta-1}{\sec\theta+1}=\frac{2-\sqrt3}{2+\sqrt3}$

   যোগ-ভাগ প্রক্রিয়ায় (componendo-dividendo),
   $\frac{(\sec\theta-1)+(\sec\theta+1)}{(\sec\theta+1)-(\sec\theta-1)}=\frac{(2-\sqrt3)+(2+\sqrt3)}{(2+\sqrt3)-(2-\sqrt3)}$

   $\Rightarrow \frac{2\sec\theta}{2}=\frac{4}{2\sqrt3}$

   $\Rightarrow \sec\theta=\frac{2}{\sqrt3}$

   (যাচাই: $\theta=30^\circ$ এ $\sec 30^\circ=\frac{2}{\sqrt3}$)

   নির্ণেয় মান $\sec\theta=\frac{2}{\sqrt3}$।