গণিত • অনুপাত, সদৃশতা ও প্রতিসমতা (Ratio, Similarity and Symmetry) • Sylhet Board • সিলেট বোর্ড ২০২০

গণিত প্রশ্ন

△△PQR\triangle \mathrm{PQR} ও △△MNL\triangle \mathrm{MNL} দুটি সদৃশ ত্রিভুজ। △△PQR\triangle \mathrm{PQR} এর PT একটি মধ্যমা ।

  1. ক)

    5 সে.মি. দৈর্ঘ্যের একটি রেখাংশকে 2:1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত কর। (অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক)

    (1)
  2. খ)

    প্রমাণ কর যে, △△RPQ:△LMN=PQ2:MN2\triangle \mathrm{RPQ}: \triangle \mathrm{LMN}=\mathrm{PQ}^{2}: \mathrm{MN}^{2}

    (2)
  3. গ)

    প্রমাণ কর যে, PQ2+PR2=2(PT2+QT2)\mathrm{PQ}^{2}+\mathrm{PR}^{2}=2\left(\mathrm{PT}^{2}+\mathrm{QT}^{2}\right)

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    অঙ্কনের বিবরণ:
    ১. AB=5AB=5 সে.মি. রেখাংশ আঁকি।
    ২. AA বিন্দুতে ABAB এর সাথে সূক্ষ্মকোণ করে AXAX রশ্মি আঁকি।
    ৩. AXAX রশ্মি থেকে সমান দূরত্বে AC1=C1C2=C2C3AC_1=C_1C_2=C_2C_3 কেটে নিই।
    ৪. C3,BC_3,B যোগ করি।
    ৫. C2C_2 থেকে C3BC_3B এর সমান্তরাল রেখা আঁকি, এটি ABAB কে PP বিন্দুতে ছেদ করে।

    তাহলে AP:PB=AC2:C2C3=2:1AP:PB=AC_2:C_2C_3=2:1। অর্থাৎ PP বিন্দু ABAB কে 2:12:1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করেছে।

  2. খ)

    প্রমাণ: △PQR∼△MNL\triangle PQR\sim\triangle MNL (প্রশ্নের শীর্ষ-মিল অনুসারে P↔MP\leftrightarrow M, Q↔NQ\leftrightarrow N, R↔LR\leftrightarrow L)।

    অঙ্কন: PP থেকে QRQR এর উপর PD⊥QRPD\perp QR এবং MM থেকে NLNL এর উপর MH⊥NLMH\perp NL আঁকি।

    সদৃশতা থেকে ∠Q=∠N\angle Q=\angle N এবং PQMN=QRNL\frac{PQ}{MN}=\frac{QR}{NL}। আবার ∠PDQ=∠MHN=90∘\angle PDQ=\angle MHN=90^\circ।

    তাই △PQD∼△MNH\triangle PQD\sim\triangle MNH এবং PDMH=PQMN\frac{PD}{MH}=\frac{PQ}{MN}।

    এখন △PQR△MNL=12⋅QR⋅PD12⋅NL⋅MH=QRNL⋅PDMH=PQMN⋅PQMN=PQ2MN2\frac{\triangle PQR}{\triangle MNL}=\frac{\frac{1}{2}\cdot QR\cdot PD}{\frac{1}{2}\cdot NL\cdot MH}=\frac{QR}{NL}\cdot\frac{PD}{MH}=\frac{PQ}{MN}\cdot\frac{PQ}{MN}=\frac{PQ^2}{MN^2}

    অতএব △RPQ:△LMN=PQ2:MN2\triangle RPQ:\triangle LMN=PQ^2:MN^2 (প্রমাণিত)।

  3. গ)

    প্রমাণ: PTPT মধ্যমা, অর্থাৎ TT বিন্দু QRQR এর মধ্যবিন্দু; তাই QT=TRQT=TR।

    অঙ্কন: PP থেকে QRQR এর উপর PD⊥QRPD\perp QR আঁকি।

    (i) যদি PQ=PRPQ=PR হয়, তবে DD ও TT একই বিন্দু। তখন PQ2=PT2+QT2PQ^2=PT^2+QT^2 এবং PR2=PT2+TR2=PT2+QT2PR^2=PT^2+TR^2=PT^2+QT^2। যোগ করে PQ2+PR2=2(PT2+QT2)PQ^2+PR^2=2(PT^2+QT^2)।

    (ii) ধরি PQ>PRPQ>PR। তখন DD বিন্দু TT ও RR এর মধ্যে থাকে এবং ∠PTQ\angle PTQ স্থূলকোণ, ∠PTR\angle PTR সূক্ষ্মকোণ।

    স্থূলকোণী ত্রিভুজ PQTPQT এ, PQ2=PT2+QT2+2QT⋅TDPQ^2=PT^2+QT^2+2QT\cdot TD ...(১)

    সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ PTRPTR এ, PR2=PT2+TR2−2TR⋅TDPR^2=PT^2+TR^2-2TR\cdot TD ...(২)

    (১) ও (২) যোগ করে, PQ2+PR2=2PT2+QT2+TR2+2TD(QT−TR)PQ^2+PR^2=2PT^2+QT^2+TR^2+2TD(QT-TR)

    QT=TRQT=TR হওয়ায় PQ2+PR2=2PT2+2QT2=2(PT2+QT2)PQ^2+PR^2=2PT^2+2QT^2=2(PT^2+QT^2) (প্রমাণিত)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন