গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $\tan\theta + \cot\theta = 2$ থেকে $\tan\theta + \dfrac{1}{\tan\theta} = 2$, অর্থাৎ $\tan^2\theta - 2\tan\theta + 1 = 0$ বা $(\tan\theta - 1)^2 = 0$। সুতরাং $\tan\theta = 1$, তাই $\theta = \mathbf{45^\circ}$।

2. খ)

   চিত্র থেকে সমকোণী ত্রিভুজ $OPM$-এ অতিভুজ $OP = 2$ এবং লম্ব $PM = \sqrt{3}$।
   $\sin\theta = \dfrac{PM}{OP} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, অতএব $\theta = 60^\circ$।
   তাই $\sin^2\theta = \dfrac{3}{4}$ এবং $\cos^2\theta = 1 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}$।
   $\frac{1}{1+\sin^2\theta} + \frac{1}{1+\cos^2\theta} = \frac{1}{1+\frac{3}{4}} + \frac{1}{1+\frac{1}{4}} = \frac{4}{7} + \frac{4}{5} = \frac{20+28}{35} = \frac{48}{35}$
   অতএব, নির্ণেয় মান $\mathbf{\dfrac{48}{35}}$।

3. গ)

   বামপক্ষ $= (\sec\alpha + \tan\alpha)^2 = \left(\dfrac{1}{\cos\alpha} + \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\right)^2 = \dfrac{(1+\sin\alpha)^2}{\cos^2\alpha}$
   $= \dfrac{(1+\sin\alpha)^2}{1-\sin^2\alpha}$ [কারণ $\cos^2\alpha = 1-\sin^2\alpha$]
   $= \dfrac{(1+\sin\alpha)^2}{(1+\sin\alpha)(1-\sin\alpha)} = \dfrac{1+\sin\alpha}{1-\sin\alpha} =$ ডানপক্ষ।
   সুতরাং, $(\sec\alpha + \tan\alpha)^2 = \dfrac{1+\sin\alpha}{1-\sin\alpha}$। (প্রমাণিত)