পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো দ্বিপদী পরীক্ষার $n$ সংখ্যক স্বাধীন চেষ্টার মধ্যে সাফল্য অর্জনের সংখ্যা নির্দেশকারী বিচ্ছিন্ন দৈব চলককে দ্বিপদী চলক বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দ্বিপদী বিন্যাসের গড় ঋণাত্মক হতে পারে না। কারণ দ্বিপদী বিন্যাসের গড় হলো $E(X) = np$, যেখানে $n$ হলো মোট চেষ্টার সংখ্যা এবং $p$ হলো যেকোনো একটি স্বাধীন চেষ্টায় সাফল্যের সম্ভাবনা।
   যেহেতু মোট চেষ্টার সংখ্যা $n$ একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা অর্থাৎ $n > 0$, এবং সম্ভাবনা $p$-এর মান সর্বদা অঋণাত্মক ও ১-এর সমান বা ছোট অর্থাৎ $0 < p < 1$, সেহেতু এদের গুণফল $np$ সর্বদা ধনাত্মক হবে ($np > 0$)। অতএব, দ্বিপদী বিন্যাসের গড় কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক অনুসারে,
   প্যাকেটে মোট দ্রব্যের সংখ্যা, $n = 10$
   একটি পণ্য খারাপ হওয়ার সম্ভাবনা (সাফল্য), $p = 25\% = \frac{25}{100} = 0.25$
   অতএব, পণ্য ভালো হওয়ার সম্ভাবনা, $q = 1 - p = 1 - 0.25 = 0.75$

   এখানে $X$ হলো প্যাকেটে খারাপ পণ্যের সংখ্যা, যা একটি দ্বিপদী চলক।
   দ্বিপদী বিন্যাসের সম্ভাবনা অপেক্ষক:
   $P(X = x) = {}^nC_x \, p^x \, q^{n-x}; \quad x = 0, 1, 2, \dots, n$

   প্রশ্নমতে, $P(X = 0)$ নির্ণয় করতে হবে:
   $P(X = 0) = {}^{10}C_0 \, (0.25)^0 \, (0.75)^{10-0}$
   $= 1 \times 1 \times (0.75)^{10}$
   $\approx 0.0563$

   অতএব, $P(X = 0) \approx 0.0563$ বা $5.63\%$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক হতে পাই,
   $n = 10$, $p = 0.25$, এবং $q = 1 - p = 0.75$

   দ্বিপদী বিন্যাসের বঙ্কিমতাঙ্ক (Skewness) পরিমাপের সূত্র:
   $\beta_1 = \frac{(q - p)^2}{npq}$ অথবা প্রথম বঙ্কিমতাঙ্ক $\sqrt{\beta_1} = \frac{q - p}{\sqrt{npq}}$

   এখানে,
   $q - p = 0.75 - 0.25 = 0.50$
   $npq = 10 \times 0.25 \times 0.75 = 1.875$
   $\sqrt{npq} = \sqrt{1.875} \approx 1.3693$

   অতএব, প্রথম বঙ্কিমতাঙ্ক:
   $\sqrt{\beta_1} = \frac{0.50}{1.3693} \approx 0.365$

   যেহেতু $\sqrt{\beta_1} > 0$ (অর্থাৎ মানটি ধনাত্মক এবং শূন্য অপেক্ষা বড়),
   অতএব, বিন্যাসটি ধনাত্মক বঙ্কিম (Positively Skewed)। এর অর্থ হলো বিন্যাসের ডানদিকের লেজ বামদিকের লেজের চেয়ে দীর্ঘ।