গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $1^3+2^3+\dots+n^3=\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2$ সূত্রে $n=20$ বসিয়ে, সমষ্টি $=\left(\frac{20\times21}{2}\right)^2=210^2=\mathbf{44100}$

2. খ)

   ধারা $3+5+7+\dots$-এর প্রথম পদ $a=3$, সাধারণ অন্তর $d=2$।

   $S_n=\frac n2\{2\cdot3+(n-1)\cdot2\}=n(n+2)$

   শর্তমতে, $n^2+2n=168$ বা, $n^2+2n-168=0$ বা, $(n-12)(n+14)=0$

   $n=-14$ গ্রহণযোগ্য নয়। $\therefore n=\mathbf{12}$

3. গ)

   মনে করি, গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ $a$ ও সাধারণ অনুপাত $r$। ৩য় পদ $ar^2=\frac1{\sqrt3}$, ৮ম পদ $ar^7=\frac{4\sqrt2}{27}$।

   ভাগ করে, $r^5=\frac{4\sqrt2}{27}\times\sqrt3=\frac{4\sqrt6}{27}=\frac{2^{5/2}}{3^{5/2}}=\left(\frac23\right)^{5/2}$

   $\therefore r=\sqrt{\frac23}=\frac{\sqrt6}{3}$। তাহলে $r^2=\frac23$, $a=\frac1{\sqrt3}\times\frac32=\frac{\sqrt3}{2}$।

   $r<1$ বলে $S_{10}=\frac{a(1-r^{10})}{1-r}$, যেখানে $r^{10}=\left(\frac23\right)^5=\frac{32}{243}$।

   $S_{10}=\frac{\frac{\sqrt3}{2}\times\frac{211}{243}}{\frac{3-\sqrt6}{3}}=\frac{211\sqrt3}{162(3-\sqrt6)}=\frac{211\sqrt3(3+\sqrt6)}{162\times3}=\frac{211(3\sqrt3+3\sqrt2)}{486}$

   $=\mathbf{\frac{211(\sqrt3+\sqrt2)}{162}}\approx4.10$