গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $\tan A=\dfrac5{12}$, তাই লম্ব $=5$, ভূমি $=12$, অতিভুজ $=\sqrt{5^2+12^2}=13$।

   $\sin A=\dfrac5{13}$, $\cos A=\dfrac{12}{13}$

   $\sin A\cdot\cos A=\dfrac5{13}\times\dfrac{12}{13}=\dfrac{60}{169}$।

2. খ)

   $\sec A+\tan A=y$ ...(i)

   $\sec^2A-\tan^2A=1$ থেকে $(\sec A+\tan A)(\sec A-\tan A)=1$, তাই $\sec A-\tan A=\dfrac1y$ ...(ii)

   (i) $+$ (ii): $2\sec A=y+\dfrac1y=\dfrac{y^2+1}y$, তাই $\sec A=\dfrac{y^2+1}{2y}$

   (i) $-$ (ii): $2\tan A=y-\dfrac1y=\dfrac{y^2-1}y$, তাই $\tan A=\dfrac{y^2-1}{2y}$

   $\sin A=\tan A\div\sec A=\dfrac{y^2-1}{2y}\times\dfrac{2y}{y^2+1}=\dfrac{y^2-1}{y^2+1}$। (দেখানো হলো)

3. গ)

   $M=\tan\theta\sec\theta=\dfrac23$

   বা, $\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\cdot\dfrac1{\cos\theta}=\dfrac23$

   বা, $3\sin\theta=2\cos^2\theta=2(1-\sin^2\theta)$

   বা, $2\sin^2\theta+3\sin\theta-2=0$

   বা, $(2\sin\theta-1)(\sin\theta+2)=0$

   $\sin\theta=-2$ সম্ভব নয় ($-1\le\sin\theta\le1$), তাই $\sin\theta=\dfrac12=\sin30^\circ$।

   সুতরাং, $\theta=\mathbf{30^\circ}$।