উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত রাশি: $\int x \ln x \, dx$

   ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস (Integration by parts) সূত্র ব্যবহার করে:
   $\int u v \, dx = u \int v \, dx - \int \left( \frac{du}{dx} \int v \, dx \right) dx$

   এখানে, $u = \ln x$ এবং $v = x$ ধরে,
   $\int x \ln x \, dx = \ln x \int x \, dx - \int \left( \frac{d}{dx}(\ln x) \int x \, dx \right) dx$
   $= \ln x \cdot \frac{x^2}{2} - \int \left( \frac{1}{x} \cdot \frac{x^2}{2} \right) dx$
   $= \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{1}{2} \int x \, dx$
   $= \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} + c$
   $= \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + c$
   বা, $\frac{x^2}{4}(2\ln x - 1) + c$
   যেখানে $c$ একটি সমাকলন ধ্রুবক।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 5$

   $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 9x + 5)$
   $= 3x^2 - 12x + 9$
   $= 3(x^2 - 4x + 3)$
   $= 3(x - 1)(x - 3)$

   (i) ফাংশনটি বৃদ্ধি পাওয়ার শর্ত:
   $f(x)$ বৃদ্ধি পায় যখন $f'(x) > 0$
   $\implies 3(x - 1)(x - 3) > 0$
   $\implies (x - 1)(x - 3) > 0$
   $\implies x < 1$ অথবা $x > 3$
   অতএব, $(-\infty, 1)$ এবং $(3, \infty)$ ব্যবধিতে ফাংশনটির মান বৃদ্ধি পায়।

   (ii) ফাংশনটি হ্রাস পাওয়ার শর্ত:
   $f(x)$ হ্রাস পায় যখন $f'(x) < 0$
   $\implies 3(x - 1)(x - 3) < 0$
   $\implies 1 < x < 3$
   অতএব, $(1, 3)$ ব্যবধিতে ফাংশনটির মান হ্রাস পায়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $g(x) = x + 2$
   $h(x) = (1 - x)(x^2 + 4)$

   প্রদত্ত সমাকলন,
   $I = \int \frac{g(x)}{h(x)} \, dx = \int \frac{x + 2}{(1 - x)(x^2 + 4)} \, dx$

   আংশিক ভগ্নাংশে রূপান্তর:
   ধরি, $\frac{x + 2}{(1 - x)(x^2 + 4)} = \frac{A}{1 - x} + \frac{Bx + C}{x^2 + 4} \quad \text{--- (1)}$

   উভয়পক্ষকে $(1 - x)(x^2 + 4)$ দ্বারা গুণ করে পাই,
   $x + 2 = A(x^2 + 4) + (Bx + C)(1 - x) \quad \text{--- (2)}$

   (2) নং সমীকরণে $x = 1$ বসিয়ে পাই,
   $1 + 2 = A(1^2 + 4) + 0$
   $\implies 3 = 5A \implies A = \frac{3}{5}$

   (2) নং সমীকরণ থেকে $x^2$-এর সহগ সমীকৃত করে পাই,
   $0 = A - B \implies B = A = \frac{3}{5}$

   (2) নং সমীকরণ থেকে ধ্রুবক পদ সমীকৃত করে পাই,
   $2 = 4A + C \implies C = 2 - 4\left(\frac{3}{5}\right) = 2 - \frac{12}{5} = -\frac{2}{5}$

   $A, B, C$-এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই,
   $\frac{x + 2}{(1 - x)(x^2 + 4)} = \frac{3/5}{1 - x} + \frac{\frac{3}{5}x - \frac{2}{5}}{x^2 + 4}$

   এখন সমাকলন করে পাই,
   $I = \int \frac{3/5}{1 - x} \, dx + \int \frac{\frac{3}{5}x - \frac{2}{5}}{x^2 + 4} \, dx$
   $= -\frac{3}{5} \int \frac{-1}{1 - x} \, dx + \frac{3}{10} \int \frac{2x}{x^2 + 4} \, dx - \frac{2}{5} \int \frac{1}{x^2 + 2^2} \, dx$
   $= -\frac{3}{5} \ln |1 - x| + \frac{3}{10} \ln(x^2 + 4) - \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + c$
   $= -\frac{3}{5} \ln |1 - x| + \frac{3}{10} \ln(x^2 + 4) - \frac{1}{5} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + c$
   যেখানে $c$ একটি সমাকলন ধ্রুবক।