গণিত • ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Trigonometric Ratio) • Barishal Board • বরিশাল বোর্ড ২০২৬

গণিত প্রশ্ন

tan⁡A+sin⁡A=p\tan A + \sin A = p এবং tan⁡A−sin⁡A=q\tan A - \sin A = q।

  1. ক)

    sin⁡2A−cos⁡2A\sin^2 A - \cos^2 A এর মান নির্ণয় কর, যেখানে A=60∘A = 60^\circ।

    (1)
  2. খ)

    প্রমাণ কর যে, (p2−q24)2=pq\left(\frac{p^2 - q^2}{4}\right)^2 = pq।

    (2)
  3. গ)

    pq=2+12−1\frac{p}{q} = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} হলে, sin⁡2A\sin 2A এর মান নির্ণয় কর।

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    A=60∘A=60^\circ হলে, sin⁡260∘−cos⁡260∘=(32)2−(12)2=34−14=12\sin^260^\circ-\cos^260^\circ=\left(\frac{\sqrt3}2\right)^2-\left(\frac12\right)^2=\frac34-\frac14=\mathbf{\frac12}

  2. খ)

    p2−q2=(tan⁡A+sin⁡A)2−(tan⁡A−sin⁡A)2=4tan⁡Asin⁡Ap^2-q^2=(\tan A+\sin A)^2-(\tan A-\sin A)^2=4\tan A\sin A, তাই p2−q24=tan⁡Asin⁡A\frac{p^2-q^2}4=\tan A\sin A।

    বামপক্ষ =(p2−q24)2=tan⁡2Asin⁡2A=\left(\frac{p^2-q^2}4\right)^2=\tan^2A\sin^2A

    pq=tan⁡2A−sin⁡2A=sin⁡2Acos⁡2A−sin⁡2A=sin⁡2A⋅1−cos⁡2Acos⁡2A=sin⁡2A⋅sin⁡2Acos⁡2A=sin⁡2Atan⁡2Apq=\tan^2A-\sin^2A=\frac{\sin^2A}{\cos^2A}-\sin^2A=\sin^2A\cdot\frac{1-\cos^2A}{\cos^2A}=\sin^2A\cdot\frac{\sin^2A}{\cos^2A}=\sin^2A\tan^2A

    ∴(p2−q24)2=pq\therefore\left(\frac{p^2-q^2}4\right)^2=pq (প্রমাণিত)

  3. গ)

    pq=tan⁡A+sin⁡Atan⁡A−sin⁡A=1+cos⁡A1−cos⁡A\frac pq=\frac{\tan A+\sin A}{\tan A-\sin A}=\frac{1+\cos A}{1-\cos A} [লব ও হরকে tan⁡A\tan A দিয়ে ভাগ করে, sin⁡Atan⁡A=cos⁡A\frac{\sin A}{\tan A}=\cos A]

    শর্তমতে, 1+cos⁡A1−cos⁡A=2+12−1\frac{1+\cos A}{1-\cos A}=\frac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1}

    যোজন-বিয়োজন করে, 22cos⁡A=222\frac{2}{2\cos A}=\frac{2\sqrt2}{2} বা, 1cos⁡A=2\frac1{\cos A}=\sqrt2 বা, cos⁡A=12=cos⁡45∘\cos A=\frac1{\sqrt2}=\cos45^\circ

    ∴A=45∘\therefore A=45^\circ এবং sin⁡2A=sin⁡90∘=1\sin2A=\sin90^\circ=\mathbf{1}

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন