গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $\cot(A+15^\circ)=1=\cot45^\circ$

   $\Rightarrow A+15^\circ=45^\circ\Rightarrow A=30^\circ$

   নির্ণেয় মান $A=30^\circ$।

2. খ)

   দেওয়া আছে $x=\sec\theta$, $y=\sin\theta$, $a=\cos\theta$।

   বামপক্ষ $=\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}=\sqrt{\frac{\sec\theta+1}{\sec\theta-1}}=\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}}$

   $=\sqrt{\frac{(1+\cos\theta)^2}{(1-\cos\theta)(1+\cos\theta)}}=\sqrt{\frac{(1+\cos\theta)^2}{\sin^2\theta}}=\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}$

   $=\frac{1+a}{y}=\frac ay+\frac1y=$ ডানপক্ষ

   সুতরাং, $\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}=\frac ay+\frac1y$ (প্রমাণিত)।

3. গ)

   $\frac1{x^2}-y^2+5a=2$ এ মান বসিয়ে পাই,
   $\cos^2\theta-\sin^2\theta+5\cos\theta=2$
   $\Rightarrow\cos^2\theta-(1-\cos^2\theta)+5\cos\theta-2=0$
   $\Rightarrow2\cos^2\theta+5\cos\theta-3=0$
   $\Rightarrow(2\cos\theta-1)(\cos\theta+3)=0$

   $\cos\theta+3\ne0$ (কারণ $\cos\theta\ge-1$)। তাই $2\cos\theta-1=0$

   $\Rightarrow\cos\theta=\frac12=\cos60^\circ$

   নির্ণেয় মান $\theta=60^\circ$।