উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $y = x^{e^{3x}}$
   উভয়পাশে স্বাভাবিক লগারিদম (ln) নিয়ে পাই,
   $\ln y = \ln(x^{e^{3x}}) = e^{3x} \ln x$

   উভয়পক্ষকে $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{3x} \ln x)$
   $\Rightarrow \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = e^{3x} \cdot \frac{d}{dx}(\ln x) + \ln x \cdot \frac{d}{dx}(e^{3x})$
   $\Rightarrow \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = e^{3x} \cdot \frac{1}{x} + \ln x \cdot (3e^{3x})$
   $\Rightarrow \frac{dy}{dx} = y \cdot e^{3x} \left( \frac{1}{x} + 3\ln x \right)$
   $\therefore \frac{dy}{dx} = x^{e^{3x}} e^{3x} \left( \frac{1}{x} + 3\ln x \right)$

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত বক্ররেখার সমীকরণ:
   $x^3 + xy^2 - 3x^2 + 4x + 5y + 2 = 0$

   $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $3x^2 + \left( 1 \cdot y^2 + x \cdot 2y \frac{dy}{dx} \right) - 6x + 4 + 5\frac{dy}{dx} + 0 = 0$
   $\Rightarrow 3x^2 + y^2 - 6x + 4 + (2xy + 5)\frac{dy}{dx} = 0$
   $\Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{3x^2 + y^2 - 6x + 4}{2xy + 5}$

   $(1, -1)$ বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল, $m$:
   $m = \left( \frac{dy}{dx} \right)_{(1, -1)} = -\frac{3(1)^2 + (-1)^2 - 6(1) + 4}{2(1)(-1) + 5}$
   $= -\frac{3 + 1 - 6 + 4}{-2 + 5} = -\frac{2}{3}$

   $(1, -1)$ বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ:
   $y - (-1) = m (x - 1)$
   $\Rightarrow y + 1 = -\frac{2}{3}(x - 1)$
   $\Rightarrow 3y + 3 = -2x + 2$
   $\Rightarrow 2x + 3y + 1 = 0$

   $(1, -1)$ বিন্দুতে অভিলম্বের ঢাল $= -\frac{1}{m} = -\frac{1}{-2/3} = \frac{3}{2}$

   অতএব, অভিলম্বের সমীকরণ:
   $y - (-1) = \frac{3}{2}(x - 1)$
   $\Rightarrow 2(y + 1) = 3(x - 1)$
   $\Rightarrow 2y + 2 = 3x - 3$
   $\Rightarrow 3x - 2y - 5 = 0$

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $P(x) = 2x + 5$
   নির্ণেয় যোগজ:
   $I = \int \frac{dx}{(2x+1)\sqrt{2x+5}}$

   ধরি, $2x + 5 = z^2$
   $\Rightarrow 2 dx = 2z dz \Rightarrow dx = z dz$
   এবং $2x + 1 = (2x + 5) - 4 = z^2 - 4$

   মান বসিয়ে পাই,
   $I = \int \frac{z dz}{(z^2 - 4) \cdot z} = \int \frac{dz}{z^2 - 2^2}$

   আমরা জানি, $\int \frac{dz}{z^2 - a^2} = \frac{1}{2a} \ln \left| \frac{z - a}{z + a} \right| + c$

   $\therefore I = \frac{1}{2 \cdot 2} \ln \left| \frac{z - 2}{z + 2} \right| + c$
   $= \frac{1}{4} \ln \left| \frac{\sqrt{2x+5} - 2}{\sqrt{2x+5} + 2} \right| + c$, যেখানে $c$ একটি যোগজীকরণ ধ্রুবক।