গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   সংখ্যা দুইটি $4k$ ও $5k$, যেখানে $k$ তাদের গ.সা.গু.। শর্তমতে $k=3$। সংখ্যা দুইটি $12$ ও $15$।

   ল.সা.গু. $=4\times5\times3=\mathbf{60}$।

2. খ)

   ধরি, সমান্তর ধারার প্রথম পদ $A$ ও সাধারণ অন্তর $d$।

   শর্তমতে, $A+(p-1)d=q^2$ ...(i) এবং $A+(q-1)d=p^2$ ...(ii)

   (i) $-$ (ii): $(p-q)d=q^2-p^2=-(p-q)(p+q)$

   অতএব $d=-(p+q)$ ($p\ne q$)।

   (i) থেকে, $A=q^2+(p-1)(p+q)=p^2+q^2+pq-p-q$

   $S_{p+q}=\dfrac{p+q}2\{2A+(p+q-1)d\}$

   $2A=2p^2+2q^2+2pq-2p-2q$ এবং $(p+q-1)d=-(p+q)^2+(p+q)=-p^2-2pq-q^2+p+q$

   যোগ করে, $2A+(p+q-1)d=p^2+q^2-p-q$

   সুতরাং, $S_{p+q}=\dfrac{(p+q)(p^2+q^2-p-q)}2$।

3. গ)

   ধরি, প্রথম পদ $a$ ও সাধারণ অনুপাত $r$।

   শর্তমতে, $ar^4=\dfrac2{3\sqrt3}$ ...(i) এবং $ar^8=\dfrac8{27\sqrt3}$ ...(ii)

   (ii) $\div$ (i): $r^4=\dfrac8{27\sqrt3}\times\dfrac{3\sqrt3}2=\dfrac49$

   অতএব $r^2=\dfrac23$ এবং $r=\pm\sqrt{\dfrac23}=\pm\dfrac{\sqrt6}3$

   (i) থেকে, $a=\dfrac2{3\sqrt3}\times\dfrac94=\dfrac3{2\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}2$

   $ar=\pm\dfrac{\sqrt3}2\cdot\sqrt{\dfrac23}=\pm\dfrac1{\sqrt2}$, $ar^2=\dfrac{\sqrt3}2\cdot\dfrac23=\dfrac1{\sqrt3}$

   সুতরাং, ধারাটি $\dfrac{\sqrt3}2+\dfrac1{\sqrt2}+\dfrac1{\sqrt3}+\cdots$ (যখন $r=\sqrt{2/3}$) অথবা $\dfrac{\sqrt3}2-\dfrac1{\sqrt2}+\dfrac1{\sqrt3}-\cdots$ (যখন $r=-\sqrt{2/3}$)।