গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   অনুপাত $7:11$ হলে সংখ্যা দুটি $7k$ ও $11k$; গ.সা.গু. $=k=3$

   সংখ্যা দুটি $21$ ও $33$

   ল.সা.গু. $=3\times7\times11=231$

   উত্তর: ল.সা.গু. $=231$

2. খ)

   ধরি, $A=\sqrt{3x+2y},\ B=\sqrt{3x-2y}$। তাহলে $p=\frac{A+B}{A-B}$

   যোগ-বিয়োগ (componendo-dividendo) করে, $\frac{p+1}{p-1}=\frac{2A}{2B}=\frac AB$

   বর্গ করে, $\frac{(p+1)^2}{(p-1)^2}=\frac{3x+2y}{3x-2y}$

   আবার যোগ-বিয়োগ করে, $\frac{(p+1)^2+(p-1)^2}{(p+1)^2-(p-1)^2}=\frac{6x}{4y}$

   $\Rightarrow\frac{2p^2+2}{4p}=\frac{3x}{2y}\Rightarrow\frac{p^2+1}{2p}=\frac{3x}{2y}$

   $\Rightarrow y(p^2+1)=3px\Rightarrow p^2y-3px+y=0$ (প্রমাণিত)

3. গ)

   $S_n=2^{n+2}-4$

   $S_1=2^3-4=4$, সুতরাং প্রথম পদ $a=4$

   $S_2=2^4-4=12$, সুতরাং ২য় পদ $=12-4=8$

   সাধারণ অনুপাত $r=\frac84=2$

   যাচাই: $S_n=\frac{4(2^n-1)}{2-1}=2^{n+2}-4$ ✓

   উত্তর: গুণোত্তর ধারাটি $4+8+16+32+\ldots$