পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ঘূর্ণন অক্ষের সাপেক্ষে কোনো বস্তুর ওপর প্রযুক্ত বলের ঘূর্ণন প্রবণতা বা ভ্রামককে টর্ক (Torque) বলে। গাণিতিকভাবে, ঘূর্ণন অক্ষ বা প্রসঙ্গ বিন্দু থেকে প্রযুক্ত বলের প্রয়োগবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর এবং প্রযুক্ত বলের ভেক্টর গুণফলকে টর্ক বলা হয়, অর্থাৎ $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   বিজ্ঞান, প্রযুক্তি এবং আন্তর্জাতিক বাণিজ্যের প্রসারের সাথে সাথে বিশ্বের বিভিন্ন দেশে প্রচলিত পরিমাপের ভিন্ন ভিন্ন এককের কারণে হিসাব-নিকাশ ও তথ্য বিনিময়ে জটিলতা এবং বিভ্রান্তি দেখা দিত। একই রাশির পরিমাপ বিভিন্ন অঞ্চলে বিভিন্ন এককে প্রকাশ করায় নির্ভুল বৈজ্ঞানিক গবেষণা এবং সুষ্ঠু আন্তর্জাতিক লেনদেন ব্যাহত হতো। এই সমস্যা দূর করে সারা বিশ্বে পরিমাপের ক্ষেত্রে একরূপতা, সার্বজনীন গ্রহণযোগ্যতা এবং আন্তর্জাতিক আদান-প্রদান সহজতর করার লক্ষ্যে পরিমাপের এককের আন্তর্জাতিক পদ্ধতি (SI) প্রণয়নের প্রয়োজন হয়েছিল।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক অনুসারে,
   $\vec{P} = 4\hat{i} + 3\hat{j}$
   $\vec{Q} = 2\hat{j} + 5\hat{k}$

   চিত্রানুযায়ী, সামান্তরিকের কর্ণ $\vec{R} = \vec{P} + \vec{Q}$
   $\therefore \vec{R} = (4\hat{i} + 3\hat{j}) + (2\hat{j} + 5\hat{k}) = 4\hat{i} + 5\hat{j} + 5\hat{k}$

   $\vec{P}$ এবং $\vec{R}$ এর মান:
   $|\vec{P}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$
   $|\vec{R}| = \sqrt{4^2 + 5^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25 + 25} = \sqrt{66} \approx 8.124$

   $\vec{P}$ এবং $\vec{R}$ এর স্কেলার বা ডট গুণন থেকে পাই:
   $\vec{P} \cdot \vec{R} = (4\hat{i} + 3\hat{j} + 0\hat{k}) \cdot (4\hat{i} + 5\hat{j} + 5\hat{k})$
   $\Rightarrow \vec{P} \cdot \vec{R} = (4 \times 4) + (3 \times 5) + (0 \times 5) = 16 + 15 + 0 = 31$

   আবার,
   $\vec{P} \cdot \vec{R} = |\vec{P}| |\vec{R}| \cos\theta$
   $\Rightarrow \cos\theta = \frac{\vec{P} \cdot \vec{R}}{|\vec{P}| |\vec{R}|} = \frac{31}{5 \times \sqrt{66}} = \frac{31}{5 \times 8.124} = \frac{31}{40.62} \approx 0.7632$
   $\Rightarrow \theta = \cos^{-1}(0.7632) \approx 40.26^\circ$

   অতএব, নির্ণেয় $\theta$ এর মান প্রায় $40.26^\circ$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকে সামান্তরিক $OABC$-এর সন্নিহিত দুটি বাহু:
   $\vec{OA} = \vec{P} = 4\hat{i} + 3\hat{j}$
   $\vec{OC} = \vec{Q} = 2\hat{j} + 5\hat{k}$

   সামান্তরিক $OABC$-এর ক্ষেত্রফল:
   $\text{ক্ষেত্রফল}_{OABC} = |\vec{P} \times \vec{Q}|$

   এখানে,
   $\vec{P} \times \vec{Q} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 5 \end{vmatrix}$
   $= \hat{i}(15 - 0) - \hat{j}(20 - 0) + \hat{k}(8 - 0)$
   $= 15\hat{i} - 20\hat{j} + 8\hat{k}$

   $\therefore |\vec{P} \times \vec{Q}| = \sqrt{15^2 + (-20)^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 400 + 64} = \sqrt{689} \approx 26.25\text{ বর্গ একক}$
   অতএব, সামান্তরিক $OABC$ এর ক্ষেত্রফল = $\sqrt{689} \approx 26.25\text{ বর্গ একক}$।

   এখন, সামান্তরিকের কর্ণ $OB$ বরাবর ভেক্টর $\vec{R} = \vec{P} + \vec{Q} = 4\hat{i} + 5\hat{j} + 5\hat{k}$।

   $\triangle OAB$-এর ক্ষেত্রফল:
   $\triangle OAB$-এর সন্নিহিত দুটি বাহু $\vec{OA} = \vec{P}$ এবং $\vec{AB} = \vec{Q}$।
   $\therefore \text{ক্ষেত্রফল}_{\triangle OAB} = \frac{1}{2} |\vec{P} \times \vec{Q}| = \frac{1}{2} \sqrt{689} \approx 13.125\text{ বর্গ একক}$

   $\triangle OBC$-এর ক্ষেত্রফল:
   $\triangle OBC$-এর সন্নিহিত দুটি বাহু $\vec{OC} = \vec{Q}$ এবং $\vec{CB} = \vec{P}$।
   $\therefore \text{ক্ষেত্রফল}_{\triangle OBC} = \frac{1}{2} |\vec{Q} \times \vec{P}| = \frac{1}{2} |-(\vec{P} \times \vec{Q})| = \frac{1}{2} |\vec{P} \times \vec{Q}| = \frac{1}{2} \sqrt{689} \approx 13.125\text{ বর্গ একক}$

   সুতরাং,
   $\triangle OAB$ ও $\triangle OBC$ এর ক্ষেত্রফলের সমষ্টি:
   $= \text{ক্ষেত্রফল}_{\triangle OAB} + \text{ক্ষেত্রফল}_{\triangle OBC}$
   $= \frac{1}{2}\sqrt{689} + \frac{1}{2}\sqrt{689} = \sqrt{689} \approx 26.25\text{ বর্গ একক}$

   দেখা যাচ্ছে যে, $\triangle OAB$ ও $\triangle OBC$ এর ক্ষেত্রফলের সমষ্টি সামান্তরিক $OABC$-এর ক্ষেত্রফলের সমান।