গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $F(x) = x^3 - ২x + ৩$

   $F(-৩) = (-৩)^3 - ২(-৩) + ৩ = -২৭ + ৬ + ৩ = \mathbf{-১৮}$

2. খ)

   $x^2 \le ৫০$ এবং $x$ মৌলিক সংখ্যা। $২^2 = ৪, ৩^2 = ৯, ৫^2 = ২৫, ৭^2 = ৪৯$ সবই $\le ৫০$; কিন্তু $১১^2 = ১২১ > ৫০$।

   তাই $R = \{২, ৩, ৫, ৭\}$। উপাদান সংখ্যা $n = ৪$।

   $P(R)$ হলো $R$-এর সকল উপসেটের সেট:

   • ০ উপাদানবিশিষ্ট: $\emptyset$ (১টি)
   • ১ উপাদানবিশিষ্ট: $\{২\}, \{৩\}, \{৫\}, \{৭\}$ (৪টি)
   • ২ উপাদানবিশিষ্ট: $\{২,৩\}, \{২,৫\}, \{২,৭\}, \{৩,৫\}, \{৩,৭\}, \{৫,৭\}$ (৬টি)
   • ৩ উপাদানবিশিষ্ট: $\{২,৩,৫\}, \{২,৩,৭\}, \{২,৫,৭\}, \{৩,৫,৭\}$ (৪টি)
   • ৪ উপাদানবিশিষ্ট: $\{২,৩,৫,৭\}$ (১টি)

   সুতরাং, $P(R)$ এর মোট উপাদান সংখ্যা $= ১ + ৪ + ৬ + ৪ + ১ = ১৬ = ২^৪ = ২^n$। (দেখানো হলো)

3. গ)

   ক্রমজোড়ের সমতার নিয়ম অনুযায়ী $(a, b) = (c, d)$ হলে $a = c$ এবং $b = d$।

   এখানে $(cx - dy, cd) = (cd, dx - cy)$

   তাই $cx - dy = cd$ ... (১)

   এবং $cd = dx - cy$ অর্থাৎ $dx - cy = cd$ ... (২)

   (১) + (২): $(c + d)x - (c + d)y = ২cd$

   $\Rightarrow (c + d)(x - y) = ২cd$

   $\Rightarrow x - y = \dfrac{২cd}{c + d}$ ... (৩)

   (১) − (২): $(c - d)x + (c - d)y = ০$

   $\Rightarrow (c - d)(x + y) = ০$

   $\Rightarrow x + y = ০$ [$c \ne d$ ধরে] ... (৪)

   (৩) + (৪): $২x = \dfrac{২cd}{c + d}$, তাই $x = \dfrac{cd}{c + d}$

   (৪) থেকে $y = -x = -\dfrac{cd}{c + d}$

   সুতরাং, $(x, y) = \left(\dfrac{cd}{c + d},\ -\dfrac{cd}{c + d}\right)$।