গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   চিত্র অনুযায়ী $\angle PNR=\angle ONR=55^\circ$, তাই $\angle PNO=55^\circ+55^\circ=110^\circ$।

   $P,N,M$ একই সরলরেখায় বলে $\angle MNO=180^\circ-110^\circ=70^\circ$।

   $MN=MO$ বলে $\angle MON=\angle MNO=70^\circ$।

   $\triangle MNO$-এ $\angle NMO=180^\circ-(70^\circ+70^\circ)=\mathbf{40^\circ}$

2. খ)

   বিশেষ নির্বচন: $\triangle MNO$-এ $D$ বাহু $NO$-এর মধ্যবিন্দু ($ND=OD$)। প্রমাণ করতে হবে $MN+MO>2MD$।

   অঙ্কন: $MD$ কে $E$ পর্যন্ত বাড়াই যেন $DE=MD$ হয়। $O,E$ যোগ করি।

   প্রমাণ: $\triangle MND$ ও $\triangle EOD$-এ, $ND=OD$, $MD=ED$ এবং বিপ্রতীপ কোণ $\angle MDN=\angle EDO$।

   $\therefore\triangle MND\cong\triangle EOD$ (বাহু-কোণ-বাহু); তাই $MN=OE$।

   $\triangle MOE$-এ $MO+OE>ME$ (দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর)।

   $ME=2MD$ এবং $OE=MN$ বসিয়ে, $MO+MN>2MD$ (প্রমাণিত)

3. গ)

   বিশেষ নির্বচন: মনে করি, $\angle PNR=\angle ONR=\alpha$ এবং $\angle QOR=\angle NOR=\beta$। প্রমাণ করতে হবে $2\angle NRO+\angle NMO=180^\circ$।

   প্রমাণ: $P,N,M$ এবং $M,O,Q$ সরলরেখা। তাই $\angle MNO=180^\circ-\angle PNO=180^\circ-2\alpha$ এবং $\angle MON=180^\circ-\angle QON=180^\circ-2\beta$।

   $\triangle MNO$-এ, $\angle NMO=180^\circ-\angle MNO-\angle MON=180^\circ-(180^\circ-2\alpha)-(180^\circ-2\beta)=2\alpha+2\beta-180^\circ$ ... (১)

   $\triangle NRO$-এ, $\angle NRO=180^\circ-\angle RNO-\angle NOR=180^\circ-\alpha-\beta$

   বা, $2\angle NRO=360^\circ-2\alpha-2\beta$ ... (২)

   (১) ও (২) যোগ করে, $2\angle NRO+\angle NMO=360^\circ-2\alpha-2\beta+2\alpha+2\beta-180^\circ=180^\circ$ (প্রমাণিত)