গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   দেওয়া আছে, $p^2-9=4\sqrt5$

   বা, $p^2=9+4\sqrt5=5+4+4\sqrt5=(\sqrt5)^2+2\cdot\sqrt5\cdot2+2^2=(\sqrt5+2)^2$

   $p$ ধনাত্মক ধরে, $p=\sqrt5+2$। (প্রমাণিত)

2. খ)

   $p=\sqrt5+2$, তাই $\dfrac1p=\dfrac{1}{\sqrt5+2}=\dfrac{\sqrt5-2}{(\sqrt5)^2-2^2}=\sqrt5-2$

   $p+\dfrac1p=2\sqrt5$ এবং $p-\dfrac1p=4$

   $p^2+\dfrac1{p^2}=\left(p+\dfrac1p\right)^2-2=20-2=18$

   $p^2-\dfrac1{p^2}=\left(p+\dfrac1p\right)\left(p-\dfrac1p\right)=2\sqrt5\times4=8\sqrt5$

   $p^4-\dfrac1{p^4}=\left(p^2+\dfrac1{p^2}\right)\left(p^2-\dfrac1{p^2}\right)=18\times8\sqrt5=\mathbf{144\sqrt5}$

3. গ)

   (kha) থেকে, $p+\dfrac1p=2\sqrt5$ এবং $p^2+\dfrac1{p^2}=18$।

   $p^3+\dfrac1{p^3}=\left(p+\dfrac1p\right)^3-3\left(p+\dfrac1p\right)=(2\sqrt5)^3-3\cdot2\sqrt5=40\sqrt5-6\sqrt5=34\sqrt5$

   আবার, $\left(p^2+\dfrac1{p^2}\right)\left(p^3+\dfrac1{p^3}\right)=p^5+\dfrac1{p^5}+p+\dfrac1p$

   বা, $18\times34\sqrt5=p^5+\dfrac1{p^5}+2\sqrt5$

   বা, $p^5+\dfrac1{p^5}=612\sqrt5-2\sqrt5=610\sqrt5$। (প্রমাণিত)