গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $y^2-2yz-4z-4=(y^2-4)-2z(y+2)$

   $=(y+2)(y-2)-2z(y+2)$

   $=(y+2)(y-2-2z)$

2. খ)

   দেওয়া আছে $a+b=x$, $a^2+b^2=y$, $a^3+b^3=z$।

   $(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$ থেকে $x^2=y+2ab$, তাই $ab=\dfrac{x^2-y}{2}$।

   $z=a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)=x^3-3x\cdot\dfrac{x^2-y}{2}$

   $2z=2x^3-3x^3+3xy=-x^3+3xy$

   অতএব $x^3+2z=3xy$।

   উভয়পক্ষকে $xy$ দ্বারা ভাগ করে $\dfrac{x^3+2z}{xy}=3$। (প্রমাণিত)

3. গ)

   $x=2,\ y=4$ হলে $a+b=2$ এবং $a^2+b^2=4$।

   $ab=\dfrac{(a+b)^2-(a^2+b^2)}{2}=\dfrac{4-4}{2}=0$।

   $a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)=2^3-3\cdot0\cdot2=8$।

   $7(a+b)^2=7\times4=28$।

   অতএব $a^3+b^3-7(a+b)^2=8-28=-20$।

   উত্তর: $-20$।