গাণিতিক যুক্তি প্রশ্ন

প্রদত্ত সহ-সমীকরণদ্বয়:
$ax + by = a^2$ ---------- (১)
$bx - ay = ab$ ---------- (২)

এই সমীকরণ জোটটি অপনয়ন বা প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে সমাধান করা যায়। আমরা অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান করার জন্য সমীকরণ (১) কে $a$ দ্বারা এবং সমীকরণ (২) কে $b$ দ্বারা গুণ করি:

(১) $\times a \Rightarrow a^2x + aby = a^3$
(২) $\times b \Rightarrow b^2x - aby = ab^2$

এখন সমীকরণ দুটি যোগ করি:
$(a^2x + b^2x) + (aby - aby) = a^3 + ab^2$
$x(a^2 + b^2) = a(a^2 + b^2)$

উভয়পক্ষকে $(a^2 + b^2)$ দ্বারা ভাগ করে পাই:
$x = a$

এবার $x$-এর মান সমীকরণ (১)-এ বসাই:
$a(a) + by = a^2$
$a^2 + by = a^2$
$by = a^2 - a^2$
$by = 0$
$y = 0$

অতএব, সমীকরণটির সমাধান $(x, y) = (a, 0)$।

একই ধরনের প্রশ্ন:
১. $x + y = 5$ এবং $x - y = 3$ হলে $(x, y)$ কত?
উত্তর: $(4, 1)$
২. $2x + y = 8$ এবং $3x - y = 7$ সমীকরণ জোটের সমাধান কোনটি?
উত্তর: $(3, 2)$