গাণিতিক যুক্তি প্রশ্ন

বহুপদী উৎপাদক উপপাদ্য (Factor Theorem) অনুযায়ী, যদি $f(x)$ বহুপদীর একটি উৎপাদক $(x - a)$ হয়, তবে $f(a) = 0$ হবে।

এখানে প্রদত্ত বহুপদীটি হলো:
$f(x) = 5x^3 - 2x^2 + x + k$

যেহেতু $(x - 3)$ রাশিটির একটি উৎপাদক, সেহেতু $f(3) = 0$ হবে।

এখন $x = 3$ বসিয়ে পাই:
$f(3) = 5(3)^3 - 2(3)^2 + 3 + k = 0$
$\Rightarrow 5(27) - 2(9) + 3 + k = 0$
$\Rightarrow 135 - 18 + 3 + k = 0$
$\Rightarrow 120 + k = 0$
$\Rightarrow k = -120$

একই ধরনের প্রশ্ন:
$x^3 - 6x^2 + 11x - k$ এর একটি উৎপাদক $(x - 1)$ হলে $k$ এর মান কত?
উত্তর ও সমাধান: $1^3 - 6(1)^2 + 11(1) - k = 0 \Rightarrow 1 - 6 + 11 - k = 0 \Rightarrow 6 - k = 0 \Rightarrow k = 6$।