গাণিতিক যুক্তি প্রশ্ন

ধরি, সমান্তর ধারার প্রথম পদ $a$ এবং সাধারণ অন্তর $d$।

আমরা জানি, সমান্তর ধারার $n$-তম পদ = $a + (n - 1)d$

অতএব,
৪র্থ পদ = $a + (4 - 1)d = a + 3d$
১২তম পদ = $a + (12 - 1)d = a + 11d$

প্রশ্নমতে, এই দুটি পদের যোগফল ২০:
$(a + 3d) + (a + 11d) = 20$
$\Rightarrow 2a + 14d = 20$
$\Rightarrow 2(a + 7d) = 20$
$\Rightarrow a + 7d = 10$ ------ (১)

এখন, ধারাটির প্রথম ১৫টি পদের সমষ্টি ($S_{15}$):
$S_{15} = \frac{15}{2} [2a + (15 - 1)d]$
$\Rightarrow S_{15} = \frac{15}{2} [2a + 14d]$
$\Rightarrow S_{15} = \frac{15}{2} \times 2(a + 7d)$
$\Rightarrow S_{15} = 15(a + 7d)$

সমীকরণ (১) থেকে $a + 7d = 10$ মান বসিয়ে পাই:
$S_{15} = 15 \times 10 = 150$

অতএব, প্রথম ১৫ পদের যোগফল ১৫০।

একই ধরনের প্রশ্ন:
১. একটি সমান্তর ধারার ৭ম পদ ৩৪ এবং ১৩তম পদ ৬৪ হলে, ধারাটির ১ম ২০টি পদের সমষ্টি কত? (উত্তর: ৯৮০; সমাধান: $a+6d=34$ এবং $a+12d=64$ থেকে $d=5, a=4$ বের করে সমষ্টির সূত্রে বসাতে হবে।)