উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সমীকরণ:
   $\frac{1}{3}x + 5y + 8 = 0 \implies x + 15y + 24 = 0$

   এই রেখার সমান্তরাল যেকোনো রেখার সমীকরণ:
   $x + 15y + k = 0$ ..... (i)

   রেখাটি $(3, 6)$ বিন্দুগামী হওয়ায়,
   $3 + 15(6) + k = 0$
   $\implies 3 + 90 + k = 0$
   $\implies k = -93$

   $k$ এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
   $x + 15y - 93 = 0$ (বা, $\frac{1}{3}x + 5y - 31 = 0$)

   নির্ণেয় সমীকরণ: $x + 15y - 93 = 0$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকের চিত্রে $AB$ সরলরেখাটি $P(-10, -5)$ ও $Q(2, 4)$ বিন্দুগামী।

   $P$ ও $Q$ বিন্দুগামী রেখার সমীকরণ:
   $\frac{y - (-5)}{x - (-10)} = \frac{4 - (-5)}{2 - (-10)}$
   $\implies \frac{y + 5}{x + 10} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$
   $\implies 4y + 20 = 3x + 30$
   $\implies 3x - 4y + 10 = 0$

   রেখাটিকে আদর্শ আকারে রূপান্তর করে পাই:
   $3x - 4y = -10$
   $\implies \frac{x}{-\frac{10}{3}} + \frac{y}{\frac{5}{2}} = 1$

   অতএব, রেখাটি $x$-অক্ষকে $A\left(-\frac{10}{3}, 0\right)$ এবং $y$-অক্ষকে $B\left(0, \frac{5}{2}\right)$ বিন্দুতে ছেদ করে।

   মূলবিন্দু $O(0, 0)$।
   সুতরাং, $\Delta OAB$ এর ক্ষেত্রফল:
   $= \frac{1}{2} \times |OA| \times |OB|$
   $= \frac{1}{2} \times \left|-\frac{10}{3}\right| \times \frac{5}{2}$
   $= \frac{1}{2} \times \frac{10}{3} \times \frac{5}{2} = \frac{25}{6}$ বর্গ একক।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক অনুযায়ী, $OC$ রেখা মূলবিন্দুগামী এবং এর ঢাল $m = -\frac{4}{3}$।
   সুতরাং $OC$ রেখার সমীকরণ:
   $y = -\frac{4}{3}x \implies 4x + 3y = 0$ ..... (i)

   $x$-অক্ষের সমীকরণ:
   $y = 0$ ..... (ii)

   (i) ও (ii) নং রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণসমূহের সমদ্বিখণ্ডকদ্বয়ের সমীকরণ:
   $\frac{4x + 3y}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \pm \frac{y}{\sqrt{0^2 + 1^2}}$
   $\implies \frac{4x + 3y}{5} = \pm y$

   ধনাত্মক (+) চিহ্ন নিয়ে পাই:
   $4x + 3y = 5y \implies 4x - 2y = 0 \implies 2x - y = 0$
   এই রেখার ঢাল, $m_1 = -\frac{2}{-1} = 2$

   ঋণাত্মক (-) চিহ্ন নিয়ে পাই:
   $4x + 3y = -5y \implies 4x + 8y = 0 \implies x + 2y = 0$
   এই রেখার ঢাল, $m_2 = -\frac{1}{2}$

   এখন, সমদ্বিখণ্ডকদ্বয়ের ঢালদ্বয়ের গুণফল:
   $m_1 \times m_2 = 2 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -1$

   যেহেতু ঢালদ্বয়ের গুণফল $-1$, সেহেতু সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় পরস্পর লম্ব। (দেখানো হলো)