গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $x^2 < 4$ বা, $-2 < x < 2$, যেখানে $x \in Z$।

   অতএব, $B = \{-1, 0, 1\}$।

2. খ)

   দেওয়া আছে, $a^4 - 27a^2 + 1 = 0$

   $a^2$ দিয়ে ভাগ করে পাই, $a^2 - 27 + \dfrac{1}{a^2} = 0$

   বা, $a^2 + \dfrac{1}{a^2} = 27$

   এখন $\left(a - \dfrac{1}{a}\right)^2 = 27 - 2 = 25$, তাই $a - \dfrac{1}{a} = \pm 5$

   আবার $\left(a + \dfrac{1}{a}\right)^2 = 27 + 2 = 29$, তাই $a + \dfrac{1}{a} = \sqrt{29}$ ($a > 0$)

   $a^4 - \dfrac{1}{a^4} = \left(a^2 + \dfrac{1}{a^2}\right)\left(a + \dfrac{1}{a}\right)\left(a - \dfrac{1}{a}\right)$

   $= 27 \times \sqrt{29} \times (\pm 5)$

   $= \pm 135\sqrt{29}$

   অতএব, মান $\pm 135\sqrt{29}$ ($a > 1$ হলে $+135\sqrt{29}$, $0 < a < 1$ হলে $-135\sqrt{29}$)।

3. গ)

   প্রশ্নের শেষাংশ অসম্পূর্ণ; এখানে প্রমাণ করা হলো যে $x = 2 + \sqrt{5}$ প্রদত্ত শর্ত $x^3 + \dfrac{1}{x^3} = 34\sqrt{5}$ সিদ্ধ করে এবং এ শর্ত থেকে $x$ এর মান $\sqrt{5} \pm 2$ পাওয়া যায়।

   ধরি, $x + \dfrac{1}{x} = t$। তাহলে $x^3 + \dfrac{1}{x^3} = t^3 - 3t$

   শর্তমতে, $t^3 - 3t = 34\sqrt{5}$

   বা, $t^3 - 3t - 34\sqrt{5} = 0$

   বা, $(t - 2\sqrt{5})(t^2 + 2\sqrt{5}\,t + 17) = 0$

   দ্বিঘাত অংশের নিশ্চায়ক $= 20 - 68 < 0$, তাই এর কোনো বাস্তব মূল নেই। অতএব, $t = 2\sqrt{5}$

   অর্থাৎ $x + \dfrac{1}{x} = 2\sqrt{5}$

   বা, $x^2 - 2\sqrt{5}\,x + 1 = 0$

   বা, $x = \dfrac{2\sqrt{5} \pm \sqrt{20 - 4}}{2} = \sqrt{5} \pm 2$

   সুতরাং $x = 2 + \sqrt{5}$ (প্রমাণিত); অপর মানটি $\sqrt{5} - 2$, যা $x$ এর অন্যোন্যক।

   যাচাই: $x = 2 + \sqrt{5}$ হলে $\dfrac{1}{x} = \sqrt{5} - 2$, তাই $x + \dfrac{1}{x} = 2\sqrt{5}$ এবং $x^3 + \dfrac{1}{x^3} = (2\sqrt{5})^3 - 3 \cdot 2\sqrt{5} = 40\sqrt{5} - 6\sqrt{5} = 34\sqrt{5}$ ✓।