গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   অঙ্কনের বিবরণ ($30^\circ$ কোণ):
   ১. একটি রশ্মি $OA$ আঁকি।
   ২. $O$ কে কেন্দ্র করে যেকোনো ব্যাসার্ধে একটি চাপ আঁকি, যা $OA$ কে $P$ বিন্দুতে ছেদ করে।
   ৩. $P$ কে কেন্দ্র করে একই ব্যাসার্ধ নিয়ে চাপটিকে $Q$ বিন্দুতে কাটি। $OQ$ যুক্ত করি; $\angle AOQ = 60^\circ$।
   ৪. $P$ ও $Q$ কে কেন্দ্র করে সমান ব্যাসার্ধ (যা $PQ$ এর অর্ধেকের চেয়ে বেশি) নিয়ে $\angle AOQ$ এর ভেতরে দুটি চাপ আঁকি, যারা $R$ বিন্দুতে ছেদ করে।
   ৫. $OR$ যুক্ত করি। $OR$ রশ্মি $\angle AOQ$ কে সমদ্বিখণ্ডিত করে। তাহলে $\angle AOR = 30^\circ$, যা নির্ণেয় কোণ।

2. খ)

   দেওয়া আছে: $\angle y = 60^\circ$। একটি বৃত্তে এমন দুটি স্পর্শক আঁকতে হবে যাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ $60^\circ$।

   বিশ্লেষণ: স্পর্শকদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ ও স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণের সমষ্টি $180^\circ$ (কারণ স্পর্শবিন্দুতে ব্যাসার্ধ স্পর্শকের উপর লম্ব)। তাই ব্যাসার্ধদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ $= 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$।

   অঙ্কনের বিবরণ:
   ১. $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত আঁকি।
   ২. বৃত্তের উপর একটি বিন্দু $A$ নিয়ে $OA$ যুক্ত করি।
   ৩. $O$ বিন্দুতে $\angle AOB = 120^\circ$ আঁকি, যার $OB$ বাহু বৃত্তকে $B$ বিন্দুতে ছেদ করে।
   ৪. $A$ বিন্দুতে $OA$ এর উপর লম্ব $AP$ এবং $B$ বিন্দুতে $OB$ এর উপর লম্ব $BP$ আঁকি, যারা $P$ বিন্দুতে মিলিত হয়।
   ৫. তাহলে $PA$ ও $PB$ বৃত্তের দুটি স্পর্শক এবং $\angle APB = 60^\circ = \angle y$।

3. গ)

   অঙ্কনের বিবরণ ($\triangle ABC$ এর পরিবৃত্ত):
   প্রথমে $BC = a = 3.5$ সে.মি. আঁকি।
   ১. $B$ কেন্দ্র ও $4.6$ সে.মি. ($c$) ব্যাসার্ধ নিয়ে, $C$ কেন্দ্র ও $4$ সে.মি. ($b$) ব্যাসার্ধ নিয়ে $BC$ এর একই পাশে দুটি চাপ আঁকি। চাপদ্বয় $A$ বিন্দুতে ছেদ করে। $AB$, $AC$ যুক্ত করে $\triangle ABC$ পাই।
   ২. $AB$ এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক $MN$ আঁকি।
   ৩. $BC$ এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক $XY$ আঁকি।
   ৪. $MN$ ও $XY$ পরস্পর $O$ বিন্দুতে ছেদ করে।
   ৫. $O$ কে কেন্দ্র করে $OA$ (বা $OB$/$OC$) এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত আঁকি। বৃত্তটি $A, B, C$ বিন্দু দিয়ে যায়।

   এটিই $\triangle ABC$ এর নির্ণেয় পরিবৃত্ত।

   প্রমাণ: $O$ বিন্দু $AB$ এর লম্বসমদ্বিখণ্ডকের উপর, তাই $OA = OB$। আবার $O$ বিন্দু $BC$ এর লম্বসমদ্বিখণ্ডকের উপর, তাই $OB = OC$। অতএব $OA = OB = OC$।