গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $\theta=30^{\circ}$ হলে বামপক্ষ $=\sin(2\times30^{\circ})=\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$।
   ডানপক্ষ $=2\sin30^{\circ}\cos30^{\circ}=2\times\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$।
   $\therefore$ বামপক্ষ $=$ ডানপক্ষ, অর্থাৎ $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$। (দেখানো হলো)

2. খ)

   $m\sin A=n\cos A$ থেকে $\tan A=\frac{n}{m}$, তাই $\sin A=\frac{n}{\sqrt{m^2+n^2}}$ ও $\cos A=\frac{m}{\sqrt{m^2+n^2}}$।

   বামপক্ষ $=\frac{\frac{1}{\cos^2A}+\frac{1}{\sin^2A}}{\frac{1}{\cos^2A}-\frac{1}{\sin^2A}}=\frac{\sin^2A+\cos^2A}{\sin^2A-\cos^2A}=\frac{1}{\sin^2A-\cos^2A}$।

   $\sin^2A-\cos^2A=\frac{n^2-m^2}{m^2+n^2}$। $\therefore$ বামপক্ষ $=\frac{m^2+n^2}{n^2-m^2}=\frac{n^2+m^2}{n^2-m^2}=$ ডানপক্ষ। (প্রমাণিত)

3. গ)

   $m=n=1$ হলে $\sin A=\cos A$, বা $\tan A=1=\tan45^{\circ}$। $\therefore\ A=45^{\circ}$।

   $\operatorname{cosec}(A-B)=2$ থেকে $\operatorname{cosec}(A-B)=\operatorname{cosec}30^{\circ}$, তাই $A-B=30^{\circ}$।
   $\therefore\ B=A-30^{\circ}=45^{\circ}-30^{\circ}=\mathbf{15^{\circ}}$।