গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $f(y) = y^3 + my^2 - 3y - 6$ এবং $f(-3) = 0$।
   $(-3)^3 + m(-3)^2 - 3(-3) - 6 = 0$ বা $-27 + 9m + 9 - 6 = 0$ বা $9m = 24$। অতএব, $m = \mathbf{\dfrac{8}{3}}$।

2. খ)

   $B = \{x\in\mathbb{N}: x<11,\ x$ মৌলিক$\} = \{2,3,5,7\}$ এবং $C = \{x\in\mathbb{N}: 2<x<16,\ x$ বিজোড়$\} = \{3,5,7,9,11,13,15\}$।
   তাই $B\cap C = \{3,5,7\}$, উপাদান সংখ্যা $n = 3$।
   $P(B\cap C) = \{\emptyset, \{3\}, \{5\}, \{7\}, \{3,5\}, \{3,7\}, \{5,7\}, \{3,5,7\}\}$
   এর উপাদান সংখ্যা ৮ $= 2^3 = 2^n$। অতএব, $P(B\cap C)$ এর উপাদান সংখ্যা $2^n$ কে সমর্থন করে। (দেখানো হলো)

3. গ)

   $g(a) = \dfrac{1-3a^2+a^3}{a(1-a)}$
   $g(1-a)$: লবে $1 - 3(1-a)^2 + (1-a)^3 = 1 - 3 + 6a - 3a^2 + 1 - 3a + 3a^2 - a^3 = -1 + 3a - a^3$; হরে $(1-a)\{1-(1-a)\} = a(1-a)$।
   তাই $g(1-a) = \dfrac{-(1 - 3a + a^3)}{a(1-a)}$ ...(১)
   $g\left(\dfrac{1}{a}\right)$: লবে $1 - \dfrac{3}{a^2} + \dfrac{1}{a^3} = \dfrac{a^3 - 3a + 1}{a^3}$; হরে $\dfrac{1}{a}\left(1-\dfrac{1}{a}\right) = \dfrac{a-1}{a^2}$।
   তাই $g\left(\dfrac{1}{a}\right) = \dfrac{a^3-3a+1}{a^3}\times\dfrac{a^2}{a-1} = \dfrac{a^3-3a+1}{a(a-1)} = \dfrac{-(1-3a+a^3)}{a(1-a)}$ ...(২)
   (১) ও (২) থেকে $g(1-a) = g\left(\dfrac{1}{a}\right)$। (প্রমাণিত)