পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র • ভেক্টর • Chattogram Board • চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৪

পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

তিনটি বিন্দু P, Q ও R এর স্থানাংক যথাক্রমে P(2, -1, 3), Q(3, -1, 2) এবং R(1, -3, 5).

  1. ক)

    কালিক পর্যাবৃত্ততা এর সংজ্ঞা দাও।

    (1)
  2. খ)

    অবস্থান ভেক্টর একটি সীমাবদ্ধ ভেক্টর- ব্যাখ্যা কর।

    (2)
  3. গ)

    PQ→\overrightarrow{P Q} ও PR→\overrightarrow{PR} এর মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।

    (3)
  4. ঘ)

    "বিন্দুগুলো দ্বারা গঠিত অবস্থান ভেক্টরগুলো একই তলে আছে কিনা”- তা গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    যদি কোনো গতিশীল কণার গতি এমন হয় যে, এটি নির্দিষ্ট সময় পর পর এর গতিপথের কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুকে একই দিক থেকে অতিক্রম করে, তবে সেই গতি বা পর্যাবৃত্ততাকে কালিক পর্যাবৃত্ততা বলে।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    যে ভেক্টরের পাদবিন্দু বা আদিবিন্দু নির্দিষ্ট থাকে, তাকে সীমাবদ্ধ ভেক্টর (Localized vector) বলে।
    প্রসঙ্গ কাঠামোর মূলবিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান নির্দেশ করার জন্য যে ভেক্টর ব্যবহার করা হয়, তাকে অবস্থান ভেক্টর বলে। অবস্থান ভেক্টরের পাদবিন্দু সর্বদা প্রসঙ্গ কাঠামোর মূলবিন্দুতেই স্থির বা নির্দিষ্ট থাকে। ইচ্ছামতো এর পাদবিন্দু পরিবর্তন করা যায় না। তাই অবস্থান ভেক্টর একটি সীমাবদ্ধ ভেক্টর।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    P, Q ও R বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে P(2, -1, 3), Q(3, -1, 2) এবং R(1, -3, 5)।

    সুতরাং,
    PQ⃗=(3−2)i^+(−1−(−1))j^+(2−3)k^=i^+0j^−k^=i^−k^\vec{PQ} = (3 - 2)\hat{i} + (-1 - (-1))\hat{j} + (2 - 3)\hat{k} = \hat{i} + 0\hat{j} - \hat{k} = \hat{i} - \hat{k}
    PR⃗=(1−2)i^+(−3−(−1))j^+(5−3)k^=−i^−2j^+2k^\vec{PR} = (1 - 2)\hat{i} + (-3 - (-1))\hat{j} + (5 - 3)\hat{k} = -\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}

    এখন, PQ⃗\vec{PQ} ও PR⃗\vec{PR} এর মান:
    |PQ⃗\vec{PQ}| = 12+(−1)2=1+1=2\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}
    |PR⃗\vec{PR}| = (−1)2+(−2)2+22=1+4+4=9=3\sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3

    উভয় ভেক্টরের স্কেলার গুণন:
    PQ⃗⋅PR⃗=(1)(−1)+(0)(−2)+(−1)(2)=−1+0−2=−3\vec{PQ} \cdot \vec{PR} = (1)(-1) + (0)(-2) + (-1)(2) = -1 + 0 - 2 = -3

    ধরি, PQ⃗\vec{PQ} ও PR⃗\vec{PR} এর মধ্যবর্তী কোণ θ\theta।
    আমরা জানি,
    PQ⃗⋅PR⃗=∣PQ⃗∣∣PR⃗∣cos⁡θ\vec{PQ} \cdot \vec{PR} = |\vec{PQ}| |\vec{PR}| \cos\theta
    বা, cos⁡θ=PQ⃗⋅PR⃗∣PQ⃗∣∣PR⃗∣=−332=−12\cos\theta = \frac{\vec{PQ} \cdot \vec{PR}}{|\vec{PQ}| |\vec{PR}|} = \frac{-3}{3\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}
    বা, θ=cos⁡−1(−12)=135∘\theta = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 135^\circ

    অতএব, PQ⃗\vec{PQ} ও PR⃗\vec{PR} এর মধ্যবর্তী কোণ 135∘135^\circ।

  4. ঘ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রদত্ত বিন্দুগুলো হলো P(2, -1, 3), Q(3, -1, 2) এবং R(1, -3, 5)।
    মূলবিন্দু O(0, 0, 0)-এর সাপেক্ষে এদের অবস্থান ভেক্টরসমূহ যথাক্রমে:
    A⃗=OP⃗=2i^−j^+3k^\vec{A} = \vec{OP} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}
    B⃗=OQ⃗=3i^−j^+2k^\vec{B} = \vec{OQ} = 3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}
    C⃗=OR⃗=i^−3j^+5k^\vec{C} = \vec{OR} = \hat{i} - 3\hat{j} + 5\hat{k}

    তিনটি ভেক্টর একই সমতলে অবস্থান করার শর্ত হলো তাদের স্কেলার ত্রৈধ গুণন (Scalar triple product) শূন্য হবে, অর্থাৎ A⃗⋅(B⃗×C⃗)=0\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = 0 হবে।

    এখন, অবস্থান ভেক্টরত্রয়ের স্কেলার ত্রৈধ গুণনের মান:
    A⃗⋅(B⃗×C⃗)=∣2−133−121−35∣\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 3 & -1 & 2 \\ 1 & -3 & 5 \end{vmatrix}
    =2{(−1)(5)−(2)(−3)}−(−1){(3)(5)−(2)(1)}+3{(3)(−3)−(−1)(1)}= 2\{(-1)(5) - (2)(-3)\} - (-1)\{(3)(5) - (2)(1)\} + 3\{(3)(-3) - (-1)(1)\}
    =2(−5+6)+1(15−2)+3(−9+1)= 2(-5 + 6) + 1(15 - 2) + 3(-9 + 1)
    =2(1)+1(13)+3(−8)= 2(1) + 1(13) + 3(-8)
    =2+13−24= 2 + 13 - 24
    =15−24=−9= 15 - 24 = -9

    যেহেতু A⃗⋅(B⃗×C⃗)=−9≠0\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = -9 \neq 0, তাই ভেক্টরত্রয়ের স্কেলার ত্রৈধ গুণনের মান শূন্য নয়।
    অতএব, গাণিতিক বিশ্লেষণ অনুযায়ী বিন্দুগুলো দ্বারা গঠিত অবস্থান ভেক্টরগুলো একই তলে অবস্থান করে না।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন