গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $5^{2x+1} = (125)^{x-3} = (5^3)^{x-3} = 5^{3x-9}$

   ভিত্তি সমান, তাই $2x+1 = 3x-9 \Rightarrow x = \mathbf{10}$।

2. খ)

   $P = \dfrac{49^{x+1}}{7^{(x+2)(x-1)}} = \dfrac{7^{2x+2}}{7^{x^2+x-2}} = 7^{2x+2-x^2-x+2} = 7^{-x^2+x+4}$

   $P=1=7^0$ হলে $-x^2+x+4=0 \Rightarrow x^2-x-4=0$

   $x = \dfrac{1\pm\sqrt{1+16}}{2} = \dfrac{1\pm\sqrt{17}}{2}$

   $x$ ধনাত্মক বলে $\dfrac{1-\sqrt{17}}{2}<0$ গ্রহণযোগ্য নয়। সুতরাং $x=\dfrac{1+\sqrt{17}}{2}$ (দেখানো হলো)।

3. গ)

   $Q=1$ হলে $\log_{10}x+\log_{10}(x-9)=1$
   $\Rightarrow \log_{10}\{x(x-9)\}=1 \Rightarrow x(x-9)=10^1=10$
   $\Rightarrow x^2-9x-10=0 \Rightarrow (x-10)(x+1)=0$
   $\therefore x=10$ অথবা $x=-1$।

   লগারিদমের জন্য $x>0$ ও $x-9>0$ অর্থাৎ $x>9$ হতে হবে। তাই $x=-1$ গ্রহণযোগ্য নয়।

   সুতরাং $x=\mathbf{10}$।