গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $0.0000569 = 5.69\times 10^{-5}$, তাই $\log 0.0000569 = -5 + \log 5.69 = \bar{5}.7551$।
   অতএব, পূর্ণক $\mathbf{-5}$ এবং অংশক $\mathbf{0.7551}$ (প্রায়)।

2. খ)

   দেওয়া আছে $b=2$, $c=3$, $d=5$।
   $\log\sqrt{b^3c^3} = \dfrac{3}{2}(\log 2 + \log 3) = \dfrac{3}{2}\log 6$
   $\log(\sqrt{b})^{-3} = -\dfrac{3}{2}\log 2$
   $\log\sqrt{b^3d^3} = \dfrac{3}{2}\log 10 = \dfrac{3}{2}$
   তাই প্রথম অংশ $= \dfrac{3}{2}\log 6 + \dfrac{3}{2}\log 2 - \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{2}(\log 12 - \log 10) = \dfrac{3}{2}\log 1.2$
   ভাজক $= \dfrac{3}{4}\log 1.44 = \dfrac{3}{4}\log (1.2)^2 = \dfrac{3}{2}\log 1.2$
   অতএব, সরল ফল $= \dfrac{\frac{3}{2}\log 1.2}{\frac{3}{2}\log 1.2} = \mathbf{1}$।

3. গ)

   $m^2 - \dfrac{2m}{a} + 1 = 0$ থেকে $m + \dfrac{1}{m} = \dfrac{2}{a}$।
   যোজন-বিয়োজন করে $\dfrac{(m+1)^2}{(m-1)^2} = \dfrac{2+2a}{2-2a} = \dfrac{1+a}{1-a} = \dfrac{p^2}{q^2}$ [কারণ $p = \sqrt{1+a},\ q = \sqrt{1-a}$]
   তাই $\dfrac{m+1}{m-1} = \dfrac{p}{q}$ (ধনাত্মক বর্গমূল নিয়ে)
   আবার যোজন-বিয়োজন করে $\dfrac{2m}{2} = \dfrac{p+q}{p-q}$
   অতএব, $m = \dfrac{p+q}{p-q}$। (দেখানো হলো)