গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   ধরি $\frac{l}{m} = \frac{m}{n} = k$। তাহলে $m = nk$ এবং $l = mk = nk^2$।

   বামপক্ষ $= \frac{l^3 + m^3}{l - m + n} = \frac{n^3k^6 + n^3k^3}{nk^2 - nk + n} = \frac{n^3k^3(k^3+1)}{n(k^2 - k + 1)} = \frac{n^3k^3(k+1)(k^2-k+1)}{n(k^2-k+1)} = n^2k^3(k+1)$

   ডানপক্ষ $= l(l+m) = nk^2(nk^2 + nk) = nk^2\cdot nk(k+1) = n^2k^3(k+1)$

   $\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

2. খ)

   $A = 0$ হলে $y^3 - 3by^2 + 3y - b = 0 \Rightarrow y^3 + 3y = b(3y^2 + 1)$
   $\Rightarrow b = \frac{y^3 + 3y}{3y^2 + 1}$

   যোজন-বিয়োজন করে, $\frac{b+1}{b-1} = \frac{y^3 + 3y + 3y^2 + 1}{y^3 + 3y - 3y^2 - 1} = \frac{(y+1)^3}{(y-1)^3}$

   ঘনমূল নিয়ে, $\frac{(b+1)^{1/3}}{(b-1)^{1/3}} = \frac{y+1}{y-1}$

   আবার যোজন-বিয়োজন করে, $\frac{(y+1)+(y-1)}{(y+1)-(y-1)} = \frac{(b+1)^{1/3} + (b-1)^{1/3}}{(b+1)^{1/3} - (b-1)^{1/3}}$

   $\therefore y = \frac{(b+1)^{1/3} + (b-1)^{1/3}}{(b+1)^{1/3} - (b-1)^{1/3}}$ (প্রমাণিত)

3. গ)

   আদি ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2}\times 6\times 4 = 12$ বর্গ সে.মি.

   নতুন ভূমি $= 6\times\frac{105}{100} = 6.3$ সে.মি.
   নতুন উচ্চতা $= 4\times\frac{90}{100} = 3.6$ সে.মি.

   নতুন ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2}\times 6.3\times 3.6 = 11.34$ বর্গ সে.মি.

   ক্ষেত্রফল হ্রাস $= 12 - 11.34 = 0.66$ বর্গ সে.মি.

   শতকরা হ্রাস $= \frac{0.66}{12}\times 100 = \mathbf{5.5\%}$

   অতএব, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল ৫.৫% হ্রাস পাবে।