গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   বামপক্ষ $\cos^22c=\cos^260^\circ=\left(\dfrac12\right)^2=\dfrac14$

   ডানপক্ষ $1-\sin^22c=1-\sin^260^\circ=1-\left(\dfrac{\sqrt3}2\right)^2=1-\dfrac34=\dfrac14$

   সুতরাং, $\cos^22c=1-\sin^22c$। (দেখানো হলো)

2. খ)

   দেওয়া আছে, $3\operatorname{cosec}(A+B)=2\sqrt3$, তাই $\operatorname{cosec}(A+B)=\dfrac{2\sqrt3}3=\dfrac2{\sqrt3}$

   বা, $\sin(A+B)=\dfrac{\sqrt3}2=\sin60^\circ$, তাই $A+B=60^\circ$ ...(i) (সূক্ষ্মকোণ ধরে)

   আবার, $\sqrt3\cot(A-B)=3$, তাই $\cot(A-B)=\sqrt3=\cot30^\circ$, অর্থাৎ $A-B=30^\circ$ ...(ii)

   (i) $+$ (ii): $2A=90^\circ$, তাই $A=45^\circ$

   (i) $-$ (ii): $2B=30^\circ$, তাই $B=15^\circ$

   সুতরাং, $(A,B)=(\mathbf{45^\circ,15^\circ})$।

3. গ)

   $a^2+b^2=\sec^2\theta+\operatorname{cosec}^2\theta=\dfrac1{\cos^2\theta}+\dfrac1{\sin^2\theta}=\dfrac{\sin^2\theta+\cos^2\theta}{\sin^2\theta\cos^2\theta}=\dfrac1{\sin^2\theta\cos^2\theta}$

   শর্তমতে, $\dfrac1{\sin^2\theta\cos^2\theta}=4$

   বা, $\sin^2\theta\cos^2\theta=\dfrac14$

   বা, $\sin\theta\cos\theta=\dfrac12$ ($\theta$ সূক্ষ্মকোণ বলে ধনাত্মক)

   বা, $2\sin\theta\cos\theta=1$, অর্থাৎ $\sin2\theta=1=\sin90^\circ$

   বা, $2\theta=90^\circ$

   সুতরাং, $\theta=\mathbf{45^\circ}$।