গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $x^4+64 = (x^2)^2 + 2\cdot x^2\cdot 8 + 8^2 - 16x^2 = (x^2+8)^2-(4x)^2 = \mathbf{(x^2+4x+8)(x^2-4x+8)}$

2. খ)

   $p^2+q^2 = \sqrt[4]{64}$ এবং $p^2-q^2=\sqrt[4]{81}$।

   আমরা জানি, $(p^2+q^2)^2-(p^2-q^2)^2 = 4p^2q^2$ এবং $(p^2+q^2)^2+(p^2-q^2)^2 = 2(p^4+q^4)$।

   সুতরাং $8p^2q^2(p^4+q^4) = 4p^2q^2\cdot 2(p^4+q^4) = \{(p^2+q^2)^2-(p^2-q^2)^2\}\{(p^2+q^2)^2+(p^2-q^2)^2\}$
   $= (p^2+q^2)^4-(p^2-q^2)^4 = (\sqrt[4]{64})^4-(\sqrt[4]{81})^4 = 64-81 = \mathbf{-17}$।

3. গ)

   ধরি $t = a+2$। দেওয়া আছে $t+\dfrac1t=5$। (প্রশ্নের রাশিটি মূলত $t^5+\dfrac{1}{t^5}$ ধরে মান ২৫২৫ হয়।)

   $t^2+\dfrac1{t^2} = \left(t+\dfrac1t\right)^2-2 = 25-2 = 23$

   $t^3+\dfrac1{t^3} = \left(t+\dfrac1t\right)^3-3\left(t+\dfrac1t\right) = 125-15 = 110$

   এখন $\left(t^2+\dfrac1{t^2}\right)\left(t^3+\dfrac1{t^3}\right) = t^5+\dfrac1{t^5}+t+\dfrac1t$

   $\therefore\ t^5+\dfrac1{t^5} = 23\times110-5 = 2530-5 = 2525$

   সুতরাং $(a+2)^5+\dfrac{1}{(a+2)^5}=2525$ (দেখানো হলো)।