গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   দেওয়া আছে, $f(x) = x^4 + 5x - 3$

   $f\left(\frac{1}{3}\right) = \left(\frac{1}{3}\right)^4 + 5 \cdot \frac{1}{3} - 3 = \frac{1}{81} + \frac{5}{3} - 3 = \frac{1 + 135 - 243}{81} = -\frac{107}{81}$

   সুতরাং, $f\left(\frac{1}{3}\right) =$ $-\dfrac{107}{81}$।

2. খ)

   সার্বিক সেট $U = \{1, 3, 5, 7, 9, 11, \ldots\}$ (বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা)। সেটগুলো $U$-এর মধ্যে ধরা হলো।

   $A = \{x : x \in N$ এবং $2 \leq x \leq 7\}$ এর মধ্যে বিজোড় সংখ্যা: $A = \{3, 5, 7\}$

   $B$ ($3 < x < 8$): বিজোড় সংখ্যা $B = \{5, 7\}$

   $C$: $x^2 > 5$ ও $x^3 < 130$। $x = 3$ হলে $9 > 5$ ও $27 < 130$ সত্য; $x = 5$ হলে $25 > 5$ ও $125 < 130$ সত্য; $x = 7$ হলে $343 > 130$ মিথ্যা; $x = 1$ হলে $1 > 5$ মিথ্যা। তাই $C = \{3, 5\}$

   $A'$ নির্ণয়: $A' = U \setminus A = \{1, 9, 11, 13, \ldots\}$

   $P(B \cup C)$ নির্ণয়: $B \cup C = \{5, 7\} \cup \{3, 5\} = \{3, 5, 7\}$

   সুতরাং, $P(B \cup C) = \{\emptyset, \{3\}, \{5\}, \{7\}, \{3, 5\}, \{3, 7\}, \{5, 7\}, \{3, 5, 7\}\}$ (মোট $2^3 = 8$টি উপাদান)।

3. গ)

   দেওয়া আছে, $f(a) = \dfrac{a^3 - 3a^2 + 1}{a(1-a)}$

   বামপক্ষ:
   $f\left(\frac{1}{a}\right) = \frac{\frac{1}{a^3} - \frac{3}{a^2} + 1}{\frac{1}{a}\left(1 - \frac{1}{a}\right)} = \frac{\frac{1 - 3a + a^3}{a^3}}{\frac{a-1}{a^2}} = \frac{a^3 - 3a + 1}{a(a-1)}$

   ডানপক্ষ:
   সংখ্যক $= (1-a)^3 - 3(1-a)^2 + 1 = (1 - 3a + 3a^2 - a^3) - 3(1 - 2a + a^2) + 1 = -a^3 + 3a - 1 = -(a^3 - 3a + 1)$

   হর $= (1-a)\{1 - (1-a)\} = (1-a)\cdot a$

   $f(1-a) = \frac{-(a^3 - 3a + 1)}{a(1-a)} = \frac{a^3 - 3a + 1}{a(a-1)}$

   সুতরাং, $f\left(\dfrac{1}{a}\right) = f(1-a)$ (দেখানো হলো)।