গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $1^2+2^2+3^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ সূত্রে $n=9$ বসিয়ে, সমষ্টি $=\frac{9\times10\times19}{6}=\mathbf{285}$

2. খ)

   সমান্তর ধারা $13+11+9+\dots$-এর প্রথম পদ $a=13$, সাধারণ অন্তর $d=11-13=-2$।

   $S_n=\frac n2\{2a+(n-1)d\}=\frac n2\{26-2(n-1)\}=n(14-n)$

   শর্তমতে, $n(14-n)=-72$ বা, $n^2-14n-72=0$ বা, $(n-18)(n+4)=0$

   $n=-4$ গ্রহণযোগ্য নয়, কারণ পদসংখ্যা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। $\therefore n=\mathbf{18}$

3. গ)

   মনে করি, গুণোত্তর ধারার সাধারণ অনুপাত $r$। প্রথম পদ $a=\frac1{\sqrt2}$, তৃতীয় পদ $ar^2=\frac{1}{8\sqrt2}$।

   $\frac1{\sqrt2}r^2=\frac1{8\sqrt2}$ বা, $r^2=\frac18$ বা, $r=\pm\frac{1}{2\sqrt2}$

   $ar=\frac1{\sqrt2}\times\left(\pm\frac1{2\sqrt2}\right)=\pm\frac14$

   $r=\frac1{2\sqrt2}$ হলে ধারাটি: $\mathbf{\frac1{\sqrt2}+\frac14+\frac1{8\sqrt2}+\cdots}$

   $r=-\frac1{2\sqrt2}$ হলে ধারাটি: $\mathbf{\frac1{\sqrt2}-\frac14+\frac1{8\sqrt2}-\cdots}$