গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $a^৩ - ৯ + (a+১)^৩ = a^৩ + a^৩ + ৩a^২ + ৩a + ১ - ৯$

   $= ২a^৩ + ৩a^২ + ৩a - ৮$

   $a = ১$ বসালে $২ + ৩ + ৩ - ৮ = ০$, তাই $(a - ১)$ একটি উৎপাদক।

   $২a^৩ + ৩a^২ + ৩a - ৮ = ২a^৩ - ২a^২ + ৫a^২ - ৫a + ৮a - ৮$

   $= ২a^২(a-১) + ৫a(a-১) + ৮(a-১)$

   $= (a - ১)(২a^২ + ৫a + ৮)$

2. খ)

   $x^২ = ১১ + ২\sqrt{৩০} = ৬ + ৫ + ২\sqrt{৬ \times ৫} = (\sqrt{৬} + \sqrt{৫})^২$

   $x = \sqrt{৬} + \sqrt{৫}$ এবং $\dfrac{১}{x} = \dfrac{১}{\sqrt{৬}+\sqrt{৫}} = \sqrt{৬} - \sqrt{৫}$

   $x + \dfrac{১}{x} = ২\sqrt{৬}$

   $x^৩ + \dfrac{১}{x^৩} = \left(x + \dfrac{১}{x}\right)^৩ - ৩\left(x + \dfrac{১}{x}\right)$

   $= (২\sqrt{৬})^৩ - ৩ \times ২\sqrt{৬} = ৪৮\sqrt{৬} - ৬\sqrt{৬} = ৪২\sqrt{৬}$। (প্রমাণিত)

3. গ)

   $y^২ + \dfrac{১}{y^২} = ৩৮$

   $\left(y - \dfrac{১}{y}\right)^২ = ৩৮ - ২ = ৩৬ \Rightarrow y - \dfrac{১}{y} = ৬$ ($y > ১$ ধরে; $০ < y < ১$ হলে $-৬$)

   $y^৩ - \dfrac{১}{y^৩} = \left(y - \dfrac{১}{y}\right)^৩ + ৩\left(y - \dfrac{১}{y}\right) = ২১৬ + ১৮ = ২৩৪$

   এখন $\left(y^২ + \dfrac{১}{y^২}\right)\left(y^৩ - \dfrac{১}{y^৩}\right) = y^৫ - \dfrac{১}{y^৫} + y - \dfrac{১}{y}$

   $\therefore y^৫ - \dfrac{১}{y^৫} = ৩৮ \times ২৩৪ - ৬ = ৮৮৯২ - ৬ = \mathbf{৮৮৮৬}$

   (উল্লেখ্য, $০ < y < ১$ হলে মান হতো $-৮৮৮৬$।)