$\left(\frac{\alpha}{x}+x\right)^{13}$ এর বিস্তারে 66-তম ও 77-তম পদের সহগ সমান হলে $\alpha$-এর মান কোনটি?

Question

$\left(\frac{\alpha}{x}+x\right)^{13}$ এর বিস্তারে 66-তম ও 77-তম পদের সহগ সমান হলে $\alpha$-এর মান কোনটি?

Accepted Answer

ক. $\frac{4}{3}$

ব্যাখ্যা: $\left(\frac{\alpha}{x} + x\right)^{13}$-এর বিস্তারে সাধারণ পদ:
$T_{r+1} = \binom{13}{r} \left(\frac{\alpha}{x}\right)^{13-r} (x)^r = \binom{13}{r} \alpha^{13-r} x^{2r-13}$

৬-তম পদের জন্য $r = 5$:
সহগ = $\binom{13}{5} \alpha^{13-5} = \binom{13}{5} \alpha^8$

৭-তম পদের জন্য $r = 6$:
সহগ = $\binom{13}{6} \alpha^{13-6} = \binom{13}{6} \alpha^7$

শর্তমতে, সহগদ্বয় সমান:
$\binom{13}{5} \alpha^8 = \binom{13}{6} \alpha^7$
$\implies \alpha = \frac{\binom{13}{6}}{\binom{13}{5}} = \frac{13 - 6 + 1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$।

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন