For any triangle ABC, if $c^{4}-2\left(a^{2}+b^{2}\right) c^{2}+a^{4}+a^{2} b^{2}+b^{4}=0$ then how many solutions are there for C?

Question

For any triangle ABC, if $c^{4}-2\left(a^{2}+b^{2}\right) c^{2}+a^{4}+a^{2} b^{2}+b^{4}=0$ then how many solutions are there for C?

Accepted Answer

গ. 2

ব্যাখ্যা: **AI-লিখিত সর্বোত্তম অনুমানভিত্তিক ব্যাখ্যা — যাচাইকৃত মূল উত্তর নয়।**

মূল উৎসে 4 নম্বর বিকল্প চিহ্নিত আছে। এই স্বাধীন AI-ব্যাখ্যায় সর্বোত্তম অনুমান হিসেবে 3 নম্বর বিকল্প নেওয়া হয়েছে।

Given $c^4 - 2(a^2 + b^2)c^2 + a^4 + a^2 b^2 + b^4 = 0$. Treating as quadratic in $c^2$: $c^2 = \left[(a^2 + b^2) \pm \sqrt{(a^2 + b^2)^2 - (a^4 + a^2 b^2 + b^4)}\right] = a^2 + b^2 \pm ab$. By cosine rule, $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$. Thus, $-2ab\cos C = \pm ab \Rightarrow \cos C = \mp \frac{1}{2}$. For an angle of a triangle ($0 < C < 180^\circ$), $\cos C = \frac{1}{2}$ gives $C = 60^\circ$, and $\cos C = -\frac{1}{2}$ gives $C = 120^\circ$. Both are valid angles of a triangle. Thus, there are 2 solutions for $C$.

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন