উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত বক্ররেখা: $y = ax(1-x) = ax - ax^2$
   $\frac{dy}{dx} = a - 2ax$
   মূলবিন্দুতে $(0,0)$ ঢাল $m = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0,0)} = a$
   প্রশ্নানুসারে, $m = \tan 30^\circ$
   $\Rightarrow a = \frac{1}{\sqrt{3}}$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $f(u) = \tan 3u \Rightarrow f(x) = \tan 3x$
   $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\tan 3(x+h) - \tan 3x}{h}$
   $= \lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin(3x+3h)}{\cos(3x+3h)} - \frac{\sin 3x}{\cos 3x}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(3x+3h-3x)}{h \cos(3x+3h)\cos 3x}$
   $= \lim_{h \to 0} \left(\frac{\sin 3h}{3h} \cdot 3\right) \frac{1}{\cos(3x+3h)\cos 3x} = 3\sec^2 3x$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $g(x) = x^3 - 9x^2 + 15x + 7$
   $\therefore g'(x) = 3x^2 - 18x + 15 = 3(x-1)(x-5)$

   ফাংশনটি বৃদ্ধি পাওয়ার জন্য $g'(x) > 0$ হতে হবে:
   $3(x-1)(x-5) > 0 \implies x < 1$ অথবা $x > 5$
   অর্থাৎ ব্যবধি: $(-\infty, 1) \cup (5, \infty)$।

   ফাংশনটি হ্রাস পাওয়ার জন্য $g'(x) < 0$ হতে হবে:
   $3(x-1)(x-5) < 0 \implies 1 < x < 5$
   অর্থাৎ ব্যবধি: $(1, 5)$।