উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: উদ্দীপকে ফাংশন g(x) স্পষ্টভাবে না থাকায়, উদ্দীপকে বর্ণিত AB সরলরেখাটিকে g(x) = -3/2 x + 3 ধরে নিয়ে g⁻¹ এর লেখচিত্রের সমাধান প্রদান করা হয়েছে।

   দেওয়া আছে, f(x) = 1/(5x - 1)

   ডোমেন নির্ণয়:
   f(x) সংজ্ঞায়িত হবে যদি এবং কেবল যদি হর অশূন্য হয়, অর্থাৎ
   5x - 1 ≠ 0
   ⇒ 5x ≠ 1
   ⇒ x ≠ 1/5
   ∴ Dom f = ℝ \ {1/5}

   রেঞ্জ নির্ণয়:
   ধরি, y = f(x) = 1/(5x - 1)
   যেহেতু লব 1 (অশূন্য), তাই y ≠ 0 হবে।
   বা, 5x - 1 = 1/y
   ⇒ 5x = 1 + 1/y = (y + 1)/y
   ⇒ x = (y + 1)/(5y)
   x বাস্তব হবে যদি এবং কেবল যদি y ≠ 0 হয়।
   ∴ Range f = ℝ \ {0}

2. খ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: উদ্দীপকে ফাংশন g(x) স্পষ্টভাবে না থাকায়, উদ্দীপকে বর্ণিত AB সরলরেখাটিকে g(x) = -3/2 x + 3 ধরে নিয়ে g⁻¹ এর লেখচিত্রের সমাধান প্রদান করা হয়েছে।

   উদ্দীপকে g(x) স্পষ্টভাবে না থাকায়, উদ্দীপকে প্রদত্ত AB সরলরেখাকে ফাংশন হিসেবে ধরে নিই:
   g(x) = -3/2 x + 3

   বিপরীত ফাংশন g⁻¹(x) নির্ণয়:
   ধরি, y = g(x) = -3/2 x + 3
   ⇒ 3/2 x = 3 - y
   ⇒ x = (2/3)(3 - y) = 2 - 2/3 y
   যেহেতু x = g⁻¹(y), সুতরাং:
   g⁻¹(y) = 2 - 2/3 y
   বা, g⁻¹(x) = -2/3 x + 2

   লেখচিত্র অঙ্কনের পদ্ধতি:
   g⁻¹(x) = -2/3 x + 2 একটি সরলরেখার সমীকরণ। এর লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য কয়েকটি বিন্দু নির্ণয় করি:
   • x = 0 হলে, y = 2; বিন্দুটি (0, 2)
   • x = 3 হলে, y = 0; বিন্দুটি (3, 0)
   • x = -3 হলে, y = 4; বিন্দুটি (-3, 4)
   • x = 6 হলে, y = -2; বিন্দুটি (6, -2)

   ছক কাগজে সুবিধাজনক স্কেল নিয়ে X ও Y অক্ষ বরাবর বিন্দুগুলো স্থাপন করে স্কেল দিয়ে যুক্ত করলেই g⁻¹ এর লেখচিত্র (একটি সরলরেখা) পাওয়া যাবে।

3. গ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: উদ্দীপকে ফাংশন g(x) স্পষ্টভাবে না থাকায়, উদ্দীপকে বর্ণিত AB সরলরেখাটিকে g(x) = -3/2 x + 3 ধরে নিয়ে g⁻¹ এর লেখচিত্রের সমাধান প্রদান করা হয়েছে।

   উদ্দীপক হতে, AB সরলরেখার সমীকরণ:
   y = -3/2 x + 3
   ⇒ 3x + 2y - 6 = 0 ..... (i)

   চিত্রানুযায়ী, OD সরলরেখাটি মূলবিন্দু O(0, 0) দিয়ে যায় এবং AB রেখার ওপর লম্ব (OD ⊥ AB)।
   আমরা জানি, 3x + 2y - 6 = 0 রেখার লম্ব রেখার সমীকরণ:
   2x - 3y + k = 0
   যেহেতু এটি মূলবিন্দু (0, 0) দিয়ে যায়:
   2(0) - 3(0) + k = 0 ⇒ k = 0
   অতএব, OD সরলরেখার সমীকরণ:
   2x - 3y = 0 ..... (ii)

   (i) ও (ii) নং সরলরেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখণ্ডকদ্বয়ের সমীকরণ:
   (3x + 2y - 6)/√(3² + 2²) = ± (2x - 3y)/√(2² + (-3)²)
   ⇒ (3x + 2y - 6)/√13 = ± (2x - 3y)/√13
   ⇒ 3x + 2y - 6 = ± (2x - 3y)

   (+) চিহ্ন নিয়ে পাই:
   3x + 2y - 6 = 2x - 3y
   ⇒ x + 5y - 6 = 0

   (-) চিহ্ন নিয়ে পাই:
   3x + 2y - 6 = -(2x - 3y)
   ⇒ 3x + 2y - 6 = -2x + 3y
   ⇒ 5x - y - 6 = 0

   নির্ণেয় সমদ্বিখণ্ডক সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ: x + 5y - 6 = 0 এবং 5x - y - 6 = 0।