গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $2,x,32$ ক্রমিক সমানুপাতী হলে $\dfrac2x=\dfrac x{32}$

   বা, $x^2=64$

   $x>0$ হওয়ায় $x=8$।

   উত্তর: $8$

2. খ)

   ধারাটি $6+m+n+p+\dfrac38$-এর প্রথম পদ $a=6$, পদসংখ্যা ৫টি, ৫ম পদ $=\dfrac38$।

   ধরি, সাধারণ অনুপাত $r$। তাহলে $ar^4=\dfrac38$

   বা, $6r^4=\dfrac38$

   বা, $r^4=\dfrac1{16}$, অতএব $r=\pm\dfrac12$

   $r=\dfrac12$ হলে: $m=6\times\dfrac12=3$, $n=3\times\dfrac12=\dfrac32$, $p=\dfrac32\times\dfrac12=\dfrac34$

   $r=-\dfrac12$ হলে: $m=-3$, $n=\dfrac32$, $p=-\dfrac34$

   উত্তর: $m=3,\ n=\dfrac32,\ p=\dfrac34$ অথবা $m=-3,\ n=\dfrac32,\ p=-\dfrac34$

3. গ)

   ধরি, সমান্তর ধারার প্রথম পদ $a$ এবং সাধারণ অন্তর $d$।

   শর্তমতে, $\dfrac p2\{2a+(p-1)d\}=q$, অতএব $2a+(p-1)d=\dfrac{2q}p$ ......(১)

   $\dfrac q2\{2a+(q-1)d\}=p$, অতএব $2a+(q-1)d=\dfrac{2p}q$ ......(২)

   (১) − (২) করে, $(p-q)d=\dfrac{2q}p-\dfrac{2p}q=\dfrac{2(q^2-p^2)}{pq}$

   $\therefore d=-\dfrac{2(p+q)}{pq}$ ($p\ne q$)

   এখন, $S_{p+q}=\dfrac{p+q}2\{2a+(p+q-1)d\}=\dfrac{p+q}2\{2a+(p-1)d+qd\}$

   $=\dfrac{p+q}2\left\{\dfrac{2q}p+q\cdot\left(-\dfrac{2(p+q)}{pq}\right)\right\}$ [(১) থেকে]

   $=\dfrac{p+q}2\cdot\dfrac{2q-2(p+q)}p=\dfrac{p+q}2\cdot\dfrac{-2p}p=-(p+q)$

   উত্তর: প্রথম $(p+q)$ পদের সমষ্টি $=-(p+q)$