উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • ভেক্টর • Rajshahi Board • রাজশাহী বোর্ড ২০১৭

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

p→=3i^−3j^+4k^,Q→=3i^−2j^+4k^\overrightarrow{\mathbf{p}}=3 \hat{\mathbf{i}}-3 \hat{\mathbf{j}}+4 \hat{\mathbf{k}}, \overrightarrow{\mathbf{Q}}=3 \hat{\mathbf{i}}-2 \hat{\mathbf{j}}+4 \hat{\mathbf{k}} এবং R→=i^−j^+2k^\overrightarrow{\mathbf{R}}=\hat{\mathbf{i}}-\hat{\mathbf{j}}+2 \hat{\mathbf{k}} .

  1. ক)

    P→\overrightarrow{\mathrm{P}} বিন্দুগামী এবং Q→\overrightarrow{\mathrm{Q}} ভেক্টরের সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় কর।

    (2)
  2. খ)

    দেখাও যে, P→\overrightarrow{\mathrm{P}} -Q→\overrightarrow{\mathrm{Q}} ভেক্টরটি P→\overrightarrow{\mathrm{P}} এবং Q→\overrightarrow{\mathrm{Q}} ভেক্টর দ্বারা গঠিত সমতলের উপর লম্ব ভেক্টরের সাথে লম্ব।

    (4)
  3. গ)

    উদ্দীপকে উল্লিখিত ভেক্টরগুলির i^,j^,k^\hat{i}, \hat{j}, \hat{k} এর সহগ দ্বারা গঠিত ম্যাট্রিক্স A হলে A−1\mathrm{A}^{-1} নির্ণয় কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

    স্পষ্ট অনুমান: উৎস প্রশ্নটি রাজশাহী বোর্ড ২০১৭-এর উচ্চতর গণিত ১ম পত্রের সৃজনশীল প্রশ্ন, যার তিনটি বৈধ অংশ (ক, খ, গ) রয়েছে এবং 'ঘ' অংশটি অপ্রাসঙ্গিক/ত্রুটিপূর্ণ।

    আমরা জানি, a⃗\vec{a} বিন্দুগামী এবং b⃗\vec{b} ভেক্টরের সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ হলো:
    r⃗=a⃗+tb⃗\vec{r} = \vec{a} + t\vec{b} (যেখানে tt একটি বাস্তব স্কেলার পরামিতি)

    অতএব, P⃗\vec{P} বিন্দুগামী এবং Q⃗\vec{Q} ভেক্টরের সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ:
    r⃗=P⃗+tQ⃗\vec{r} = \vec{P} + t\vec{Q}
    বা, r⃗=(3i^−3j^+4k^)+t(3i^−2j^+4k^)\vec{r} = (3\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}) + t(3\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k})
    বা, r⃗=3(1+t)i^−(3+2t)j^+4(1+t)k^\vec{r} = 3(1+t)\hat{i} - (3+2t)\hat{j} + 4(1+t)\hat{k}।

  2. খ)

    AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

    স্পষ্ট অনুমান: উৎস প্রশ্নটি রাজশাহী বোর্ড ২০১৭-এর উচ্চতর গণিত ১ম পত্রের সৃজনশীল প্রশ্ন, যার তিনটি বৈধ অংশ (ক, খ, গ) রয়েছে এবং 'ঘ' অংশটি অপ্রাসঙ্গিক/ত্রুটিপূর্ণ।

    দেওয়া আছে,
    P⃗=3i^−3j^+4k^\vec{P} = 3\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}
    Q⃗=3i^−2j^+4k^\vec{Q} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}

    সুতরাং,
    P⃗−Q⃗=(3−3)i^+(−3−(−2))j^+(4−4)k^=−j^\vec{P} - \vec{Q} = (3-3)\hat{i} + (-3 - (-2))\hat{j} + (4-4)\hat{k} = -\hat{j}

    P⃗\vec{P} এবং Q⃗\vec{Q} ভেক্টরদ্বয় দ্বারা গঠিত সমতলের উপর লম্ব ভেক্টর হলো এদের ক্রস গুণন P⃗×Q⃗\vec{P} \times \vec{Q}।
    P⃗×Q⃗=∣i^j^k^3−343−24∣\vec{P} \times \vec{Q} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -3 & 4 \\ 3 & -2 & 4 \end{vmatrix}
    =i^{(−3)(4)−(4)(−2)}−j^{(3)(4)−(4)(3)}+k^{(3)(−2)−(−3)(3)}= \hat{i}\{(-3)(4) - (4)(-2)\} - \hat{j}\{(3)(4) - (4)(3)\} + \hat{k}\{(3)(-2) - (-3)(3)\}
    =i^(−12+8)−j^(12−12)+k^(−6+9)= \hat{i}(-12 + 8) - \hat{j}(12 - 12) + \hat{k}(-6 + 9)
    =−4i^+3k^= -4\hat{i} + 3\hat{k}

    এখন, (P⃗−Q⃗)(\vec{P} - \vec{Q}) এবং (P⃗×Q⃗)(\vec{P} \times \vec{Q}) এর ডট গুণন:
    (P⃗−Q⃗)⋅(P⃗×Q⃗)=(0i^−j^+0k^)⋅(−4i^+0j^+3k^)(\vec{P} - \vec{Q}) \cdot (\vec{P} \times \vec{Q}) = (0\hat{i} - \hat{j} + 0\hat{k}) \cdot (-4\hat{i} + 0\hat{j} + 3\hat{k})
    =(0)(−4)+(−1)(0)+(0)(3)=0= (0)(-4) + (-1)(0) + (0)(3) = 0

    যেহেতু ভেক্টরদ্বয়ের স্কেলার (ডট) গুণন শূন্য, সেহেতু P⃗−Q⃗\vec{P} - \vec{Q} ভেক্টরটি P⃗\vec{P} এবং Q⃗\vec{Q} ভেক্টর দ্বারা গঠিত সমতলের উপর লম্ব ভেক্টরের সাথে লম্ব। (দেখানো হলো)

  3. গ)

    AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

    স্পষ্ট অনুমান: উৎস প্রশ্নটি রাজশাহী বোর্ড ২০১৭-এর উচ্চতর গণিত ১ম পত্রের সৃজনশীল প্রশ্ন, যার তিনটি বৈধ অংশ (ক, খ, গ) রয়েছে এবং 'ঘ' অংশটি অপ্রাসঙ্গিক/ত্রুটিপূর্ণ।

    উদ্দীপকে প্রদত্ত ভেক্টরসমূহ:
    P⃗=3i^−3j^+4k^\vec{P} = 3\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}
    Q⃗=3i^−2j^+4k^\vec{Q} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}
    R⃗=i^−j^+2k^\vec{R} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}

    এদের i^,j^,k^\hat{i}, \hat{j}, \hat{k} এর সহগ দ্বারা গঠিত ম্যাট্রিক্স:
    A=[3−343−241−12]A = \begin{bmatrix} 3 & -3 & 4 \\ 3 & -2 & 4 \\ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix}

    AA এর নির্ণায়ক:
    ∣A∣=3∣−24−12∣−(−3)∣3412∣+4∣3−21−1∣|A| = 3\begin{vmatrix} -2 & 4 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} - (-3)\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} + 4\begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}
    =3(−4+4)+3(6−4)+4(−3+2)= 3(-4 + 4) + 3(6 - 4) + 4(-3 + 2)
    =3(0)+3(2)+4(−1)=0+6−4=2≠0= 3(0) + 3(2) + 4(-1) = 0 + 6 - 4 = 2 \neq 0
    যেহেতু ∣A∣≠0|A| \neq 0, তাই A−1A^{-1} বিদ্যমান।

    AA ম্যাট্রিক্সের উপাদানসমূহের সহগুণক:
    A11=+∣−24−12∣=−4+4=0A_{11} = +\begin{vmatrix} -2 & 4 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = -4 + 4 = 0
    A12=−∣3412∣=−(6−4)=−2A_{12} = -\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -(6 - 4) = -2
    A13=+∣3−21−1∣=−3+2=−1A_{13} = +\begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -3 + 2 = -1
    A21=−∣−34−12∣=−(−6+4)=2A_{21} = -\begin{vmatrix} -3 & 4 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = -(-6 + 4) = 2
    A22=+∣3412∣=6−4=2A_{22} = +\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 6 - 4 = 2
    A23=−∣3−31−1∣=−(−3+3)=0A_{23} = -\begin{vmatrix} 3 & -3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -(-3 + 3) = 0
    A31=+∣−34−24∣=−12+8=−4A_{31} = +\begin{vmatrix} -3 & 4 \\ -2 & 4 \end{vmatrix} = -12 + 8 = -4
    A32=−∣3434∣=−(12−12)=0A_{32} = -\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = -(12 - 12) = 0
    A33=+∣3−33−2∣=−6+9=3A_{33} = +\begin{vmatrix} 3 & -3 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} = -6 + 9 = 3

    সহগুণক ম্যাট্রিক্সের বিম্ব ম্যাট্রিক্স (Adjoint of AA):
    adj(A)=[0−2−1220−403]T=[02−4−220−103]\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 0 & -2 & -1 \\ 2 & 2 & 0 \\ -4 & 0 & 3 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} 0 & 2 & -4 \\ -2 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \end{bmatrix}

    অতএব,
    A−1=1∣A∣adj(A)=12[02−4−220−103]=[01−2−110−12032]A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 & 2 & -4 \\ -2 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & -2 \\ -1 & 1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 0 & \frac{3}{2} \end{bmatrix}।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন